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课件网) 瞬时速度与导数 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系 运动员在t0到t0+△t时刻内的平均速度： 探究1 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系 h t o 求ｔ＝2时的瞬时速度？ 2 任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当△ｔ＜0时，在2之前； 当△ｔ＞0时，在2之后。 △ｔ＜0时 2＋△ｔ △ｔ＞0时 2＋△ｔ 探究1 高台跳水 我们先考察ｔ＝2附近的情况。 时间区间 Δt<0 平均速度 时间区间 Δt>0 平均速度 [1.9,2] -0.1 [2,2.1] 0.1 [1.99,2] -0.01 [2,2.01] 0.01 [1.999,2] -0.001 [2,2.001] 0.001 [1.9999,2] -0.0001 [2,2.0001] 0.0001 [1.99999,2] -0.00001 [2,2.00001] 0.00001 从物理的角度看, 时间间隔 |Δt |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1. 从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 当Δt趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个确定的值 –13.1. 思考：这里的“–”号表示运动员在这个时刻运动方向是怎样的？ 要使得到的瞬时速度更精确，时间的间隔就要很小，能否引进一个量，使其计算得到简化？ 探究2 从t=2到t=2+△t这段时间内平均速度 运动员在区间[3＋△ｔ，△ｔ],[3，3＋△ｔ]内的平均速度： 当时间的间隔越来越小时，大家发现平均速度有什么特点？ ｔ＝3时的瞬时速度？ 类比t=2时的瞬时速度，计算t=3时的瞬时速度. 探究3 即运动员在t=3时的瞬时速度等于-22.9 运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 探究4 根据上述讨论，我们用平均速度逼近了瞬时速度，体现了数学中无限逼近的思想。 跳水运动员在t0到t0+△t时刻内的平均速度： 跳水运动员在t=t0时刻的瞬时速度： 思考：对于高台跳水运动员的运动时刻，我们有这样的结论，那 其他运动有吗？如果我们把运动员的运动变化抽象为一个函数， 也会有这样的结论吗？ 跳水运动员在t0到t0+△t时刻内的平均速度： 跳水运动员在t=t0时刻的瞬时速度： 类比 导数的定义 注意: 一概念的两个名称. 瞬时变化率与导数是同 . 3 的具体取值无关. 与 x x f D ? ) ( . 2 0 . 其导数值一般也不相同 的值有关，不同的 与 0 0 0 ) ( . 1 x x x f ? 实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如： 效率、点密度、国内生产总值GDP的增长等等. 例题 将原油精炼为 汽油、柴油、塑胶等各 种不同产品，需要对原 油进行冷却和加热，如 果在第 h时，原油的 温度（单位℃ ）为 ，计算第2h与第6h时， 原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。 分析：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率 就是 所以， 它说明在第2h附近，原油温度大约以 的速率 ； 它说明在第6h附近，原油温度大约以 的速率 。 一般的， 反映了原油温度在 时刻附近的变化情况。 求导步骤 求平均 变化率 取极限 解： 同理可得 5 上升 5 3 下降 课堂小结： 抽象 抽象 逼近 逼近 我们从生活中的实例到具体的函数，由特殊到一般，运用类比的思想，由平均速度逼近瞬时速度，再由平均变化率逼近了瞬时变化率，从而得到了函数在某一点处的导数。导数的思想方法就是通过函数在某一点附近的变化状态，揭示这一点的变化状态，也揭示了函数的本质。 布置作业 课本第82页 A组，练习1，2，3; B组练习1. ... ...
