第一章 因式分解专项训练：因式分解方法的灵活应用（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 专项训练 因式分解方法的灵活应用 类型一 利用因式分解进行简便运算 1.利用因式分解进行简便计算. （1）5.69×512-5.69×462； （2）582-422； （3）982＋2×196＋22； （4）. 2.将a2＋（a＋1）2＋（a2＋a）2分解因式，并利用其结果计算72＋82＋562. 类型二 利用因式分解进行快捷求值 3.（1）利用因式分解进行计算:mR12＋mR22＋mR32，其中R1＝20，R2＝16，R3＝12，m＝3.14； （2）求xz-yz的值，其中x＝17.8，y＝28.8，z＝. （3）已知ab＝7，a＋b＝6，求多项式a2b＋ab2的值. 4.已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x＋a）（x＋b），其中a，b均为整数，求a＋3b的值. 类型三 利用因式分解进行证明或判断 5.对于任意自然数n，（n＋11）2-n2能否被11整除？为什么？ 6.已知a，b，c为三角形ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2-2b（a＋c）＝0，试判断三角形ABC的形状. 7.认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题 算式①:32-12＝（3＋1）×（3-1）＝8＝8×1， 算式②:52-32＝（5＋3）×（5-3）＝16＝8×2， 算式③:72-52＝（7＋5）×（7-5）＝24＝8×3， 算式④:92-72＝（9＋7）×（9-7）＝32＝8×4， （1）请写出: 算式⑤:_____； 算式⑥:_____； （2）上述算式的规律可以用文字概括为“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n＋1和2n＋3（n为整数），请说明这个说法是成立的； （3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例. 类型四 利用因式分解寻找规律 8.（2021山东烟台莱州期中）观察下列各式: 9-1＝4×2＝8； 16-4＝6×2＝12； 25-9＝8×2＝16； 36-16＝10×2＝20； （1）这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律是_____； （2）用含n的等式证明这个规律. 类型五 因式分解在数形结合思想中的应用 9给你若干张矩形和正方形卡片，如图所示，请你用拼图的方法拼成一个大矩形，使它的面积等于a2＋5ab＋4b2，并根据你拼成的图形分解因式a2＋5ab＋4b2. 参考答案 1. 2.a2＋（a＋1）2＋（a2＋a） ＝a2＋a2＋2a＋1＋［a（a＋1）］2 ＝2a2＋2a＋1＋［a（a＋1）］2 ＝1＋2a（a＋1）＋［a（a＋1）］2 ＝（1＋a＋a2）2 ∴72＋82＋562 ＝（1＋7＋72）2 ＝572 ＝3249 3.（1）原式＝m（R12＋R22＋R32）， 当R1＝20，R2＝16，R3＝12，m＝3.14时， 原式＝3.14×（202＋162＋122）＝3.14×800＝2512. （2）原式＝z（x-y）， 当x＝17.8，y＝28.8，z＝时， 原式＝×（17.8-28.8）＝-7. （3）原式＝ab（a＋b）， 当ab＝7，a＋b＝6时， 原式＝7×6＝42. 4.（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）＝（3x-7）（2x-21-x＋13）＝（3x-7）（x-8）， ∴（3x＋a）（x＋b）＝（3x-7）（x-8），∴a＝-7，b＝-8， 故a＋3b＝-7＋3×（-8）＝-31. 5.能.理由: ∵（n＋11）2-n2＝（n＋11-n）（n＋11＋n）＝11（2n＋11）， ∴（n＋11）2-n2能被11整除 6.∵a2＋2b2＋c2-2b（a＋c）＝0，∴a2-2ab＋b2＋b2-2bc＋c2＝0， ∴（a-b）2＋（b-c）2＝0，∴a-b＝0，b-c＝0，∴a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c，∴三角形ABC是等边三角形. 7.（1）算式⑤:112-92＝（11＋9）×（11-9）＝40＝8×5， 算式⑥:132-112＝（13＋11）×（13-11）＝48＝8×6. （2）由题意可得（2n＋3）2-（2n＋1）2＝（2n＋32n＋1）（2n＋3-2n-1）＝（4n＋4）×2＝8n＋8＝8（n＋1）， ∵8（n＋1）能被8整除，∴“两个连续奇数的平方差能被8整除”的说法成立. （3）设两个连续偶数分别为2n和2n＋2（n为整数）， 则（2n＋2）2-（2n）2＝（2n＋2＋2n）（2n＋2-2n）＝（4n＋2）×2＝8n＋4， ∵8n＋4不能被8整除，∴“两个连续偶 ... ...