11.1.6祖暅原理与几何体的体积第一课时教案 教学课时：第1课时 教学目标： 1、 结合学生已经学习掌握的相关知识，了解祖暅原理；通过祖暅原理得到柱锥的体积公式； 2、 训练学生借助柱锥的体积公式，解决相关问题； 3、让学生在利用祖暅原理得到柱锥的体积公式的过程中，体会转化与化归思想，培养学生直观想象、逻辑推理的学科素养． 教学重点： 棱柱、棱锥的体积公式的推导方法． 教学难点： 结合祖暅原理，借助转化与化归的思想求棱柱、棱锥的体积． 教学过程： 一、提出问题，解决问题 问题1：我们知道，一个几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积，长方体的体积，圆柱的体积都等于底面积乘以高.那么你能否求出其他几何体的体积呢？ 【学生活动1】 1、学生自主通过探讨完成课本第82页上面的“尝试与发现”； 2、让学生对结论的文字特征进行分析． 问题2：我们得到了祖暅原理，那么柱体被平行于底面的平面所截，共同特征是什么呢？它的体积公式是什么呢？ 分析：由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个柱体体积相等.我们学过长方体的体积，等于底面积乘以高，所以如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为． 【设计意图】 问题1的“尝试与发现”，是对学生以往所学柱体的体积知识的深化和小结.到此为止，总结了初中所学的柱体体积公式等于底面积乘以高.问题2的设计要引入祖暅定理，充分体现空间与平面问题的相互转化的思想，利用祖暅原理，推出几种几何体的体积.但要注意重点不是结论，而是对几何体结构特征的分析，正是基于这种由体截面,由面生成体的转化思想，才顺理成章的求几种几何体的体积． 问题3：由祖暅原理可知，等底面积等高的两个锥体体积是什么关系？ 分析：当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似，而且相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比，从而由祖暅原理可知等底面积、等高的两个锥体，体积相等. 【设计意图】 问题3的设计，是将锥体和柱体做类比推理，学生已经知道柱体的体积公式，把柱体和锥体的几何特征作类比，再得出锥体体积规律.我们在研究数学的问题时候，经常根据两类不同事物之间具有某些类似性，推测一类事物具有与另一类的事物类似的性质． 【学生活动2】 1、学生自主通过动画展示探讨完成课本第83页上面的“尝试与发现”； 2、让学生对结论的图形特征进行分析． 问题4：直三棱柱和三棱锥体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？ 分析：直三棱柱可以分成三个三棱锥，如果锥体的底面积为S,高为h，则锥体的体积计算公式为 【设计意图】 学生活动2的“尝试与发现”，是让学生通过几何画板的动态演示，感受三棱柱切割成三个三棱锥的过程，探索三个三棱锥体积之间的关系，探索三棱柱和三棱锥体积之间的关系，并得出结论.然后再进行归纳推理，得出锥体的体积公式. 这种研究数学问题的推理方法，叫做归纳推理. 归纳推理是根据一类事物的部分对象，具有某种性质推出这类事物的所有对象，都具有这种性质的推理.归纳推理是从特殊到一般的过程. 培养学生转化与划归的数学思想方法． 二、例题讲解，深化理解 例（课本83页例1） 如图所示，在长方体中，求棱锥的体积与长方体的体积之比． 思考：1、长方体和锥体的体积公式是什么呢？ 2、这个棱锥的体积如何求？谁是底，谁是高？ 3、为什么它是底，它是高？ 解：已知的长方体可以看成直四棱柱设它的底面的面积为S，高为h,则长方体的体积为 因为棱锥可以看成棱锥,且的面积为棱锥的高为h，所以 因此所求体积之比为 . 反思：1、还有其他方法 ... ...
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