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课件网) 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 一 二 三 一、直线的倾斜角 1.如图,在平面直角坐标系中,过一点P(2,2)可以作出多少条直线?这些直线区别在哪里呢? 提示:无数条.区别是它们的倾斜程度不同. 2.怎样描述直线的倾斜程度呢? 提示:用直线的倾斜角来描述直线的倾斜程度.当直线l与x轴相交时,直线l向上方向与x轴正向之间所成的角α是直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°. 一 二 三 3.直线倾斜角α的取值范围怎样? 提示:直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 一 二 三 4.填表:直线的倾斜角 一 二 三 5.做一做:如图所示,直线l的倾斜角为( ) A.45° B.135° C.0° D.不存在 答案:B 一 二 三 二、直线的斜率 1.日常生活中,还有没有其他表示直线倾斜程度的量?如图(1)(2),在日常生活中,我们常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”. (1)上图①②中的坡度相同吗? 一 二 三 (2)上图中的“坡度”与角α,β存在等量关系吗? 提示:存在,图①中,坡度=tan α,图②中坡度=tan β. (3)我们如何使用直线的“倾斜角”来表示“坡度(比)”呢? 提示:坡度(比)等于倾斜角的正切. 2.任何一条直线都有斜率吗? 提示:倾斜角是90°的直线没有斜率. 3.填表:直线的斜率 一 二 三 4.填表:斜率与倾斜角的对应关系 一 二 三 三、过两点的直线的斜率 问题思考 1.我们知道:两点确定一条直线,进而它的倾斜角与斜率也就确定了,那么任给直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2),这两点的坐标与直线的斜率的内在联系是什么呢?如下图①、图②,过点P1作x轴的平行线,过点P2作y轴的平行线,两线相交于点Q,那么点Q的坐标是什么? 提示:题图①中点Q的坐标为(x2,y1).题图②中点Q的坐标为(x2,y1). 一 二 三 2.设直线P1P2的倾斜角为α(α≠90°),则在Rt△P1P2Q中,哪一个角等于α? 提示:如图①,当α为锐角时,α=∠QP1P2,如图②,当α为钝角时,α=180°-∠QP1P2. 一 二 三 3.做一做: (1)已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于( ) A.2 B.1 C. D.不存在 答案:A (2)已知直线l的倾斜角α=60°,则其斜率k= .? 答案: 探究一 探究二 思维辨析 直线的倾斜角 例1已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后,恰好与y轴重合,求直线l转动前的倾斜角是多少? 思路分析:画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角 探究一 探究二 思维辨析 解由题意画出如下草图. 由图可知: 当α为钝角时,倾斜角为α-90°, 当α为锐角时,倾斜角为α+90°, 当α为直角时,倾斜角为0°. 反思感悟直线的倾斜角的求法 求直线的倾斜角主要根据定义,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论. 探究一 探究二 思维辨析 变式训练 设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为( ) A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135° 探究一 探究二 思维辨析 解析:根据题意,画出图形,如图所示: 因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D. 答案:D 探究一 探究二 思维辨析 斜率公式及其应用 例2已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1). (1)当m为何值时,直线l的斜率是1? (2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°? 思路分析:求直线的斜率?直线的斜率公式. (2)l的倾斜角为90°,即l平行于y轴,所以m+1=2m,得m=1. 反思感悟直线斜率的计算方法 (1)判断两点的横坐标是 ... ...
