课程基本信息 课题 空间向量的数量积运算 教科书 书名：普通高中教科书 数学选择性必修第一册(A版) -出卷网-：人民教育-出卷网- 出版日期： 2019年 4 月 教学目标 教学目标： （1）经历把平面向量的数量积运算推广到空间向量的过程； （2）掌握空间向量的数量积运算及运算律； （3）掌握空间向量的数量积运算的简单应用． 教学重点：空间向量的数量积运算及简单应用 教学难点：空间向量的数量积运算及简单应用 教学过程 时间 教学环节 主要师生活动 师生问答、共同探究 问题1 你能类比平面向量的数量积运算，把它推广到空间向量吗？ 追问（1） 学习平面向量时，我们如何研究它的数量积运算？ 答：我们先定义了两个向量夹角的概念，在此基础上，定义了两个向量的数量积运算，并研究了它的运算律，最后用数量积运算解决了平面几何中的一些简单问题. 追问（2）什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量，给出空间向量夹角的概念吗？ 追问(3) 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？ 与平面向量的数量积运算一样，由定义，我们容易得到关于空间向量数量积运算的两个结论： 若a，b是非零向量，a⊥b ? a · b＝0； ② a · a＝a 2＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2 . 我们经常用第一个结论证明空间中的垂直关系，用第二个结论求立体几何中线段的长度.而垂直、距离是空间中重要的位置关系和度量。 追问（4） 在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？ 追问（5）：空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？ 问题2 空间向量数量积运算由平面向量数量积运算推广而来，与平面向量数量积运算一样，要注意它与向量的线性运算及实数乘法运算的区别. 你能回答看下面的问题吗. 追问（1） 由a·b＝0，能否得到a＝0或 b＝0？ 答：不一定！因为 a · b＝|a||b|cos〈a，b〉＝0，所以|a|＝0或|b|＝0或cos〈a，b〉＝0. 即a＝0或b＝0或a⊥b. 追问（2） 对于三个均不为零的数a，b，c，若ab＝ac，则b＝c.对于向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？ 答：不一定！由a · b = a · c，有a ·(b－c）＝0. 从而有b＝c或a⊥(b－c）. 追问（3） 对于三个均不为零的数a，b，c，若ab＝c，则或. 对于向量a，b，若a·b＝k，能不能写成或？ 答：不能！没有定义向量的除法运算. 追问（4） 对于三个均不为零的数a，b，c，有(ab)c＝a(bc).对于向量a，b，c，有(a·b)c＝a(b·c)成立吗？ 答：不一定！两个向量的数量积是一个实数，若a·b和b·c非零，则(a·b)c和a(b·c)分别表示一个与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等. 问题3 用空间向量的数量积运算，可以解决空间中的哪些问题呢？ 追问（1）：平面向量的数量积运算可以解决哪些问题？ 答：平面向量的数量积运算，可以用来解决平面内线段的长度、夹角，特别地证明垂直等问题，具体方法我们比较熟悉. 追问（2）空间中的这些问题也可以用它们解决吗? 答：空间向量的数量积运算仍然由两个向量的模及它们的夹角余弦值确定，所以，可以用相同的方法解决空间中距离、夹角，特别是证明垂直等很多问题. 问题4 如右图，在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，AB = 5， AD = 3， AA’ = 7，∠ BAD =60°，∠ BAA’ =∠ DAA’ =45°. 求： (1) ；(2) AC’的长（精确到0.1）. 追问(1):如何计算？它们的长度，夹角是多少？ 答：AB、AD的长度、夹角均已知，可以直接计算. 解：(1) 追问(2) 为了求AC’的长，需要把它表示出来。如何表示？应该用哪些向量表示？为什么？ 答：根据已知条件以及向量加法的平行四边形法则，我们可以用表示它，因为它们的模长和夹角均为已知，可以进行数量积运算. 思路小结：用已知向量表示所求向量，再由数量积运算求模长 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
