不等式选讲典型例题

典型例题一 例1 解不等式 分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． 解：令，∴ ，令，∴，如图所示． （1）当时原不等式化为 ∴与条件矛盾，无解． （2）当时，原不等式化为． ∴ ，故． （3）当时，原不等式化为 ．∴，故． 综上，原不等式的解为． 说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏． 典型例题二 例2 求使不等式有解的的取值范围． 分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便． 解法一：将数轴分为三个区间 当时，原不等式变为有解的条件为，即； 当时，得，即； 当时，得，即，有解的条件为 ∴． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为． 解法二：设数，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式的意义是P到A、B的距离之和小于． 因为，故数轴上任一点到A、B距离之和大于（等于1），即，故当时，有解． 典型例题三 例3 已知，求证． 分析：根据条件凑． 证明： ． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法． 典型例题四 例4 求证 分析：使用分析法 证明 ∵，∴只需证明，两边同除，即只需证明 ，即 当时，；当时， ，原不等式显然成立．∴原不等式成立． 说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理： （1）如果，则，原不等式显然成立． （2）如果，则，利用不等式的传递性知，，∴原不等式也成立． 典型例题五 例5 求证． 分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明． 证明：设． 定义域为｛，且｝，分别在区间，区间上是增函数． 又， ∴ 即 ∴原不等式成立． 说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵，， ∴． 错误在不能保证，．绝对值不等式在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构． 典型例题六 例6 关于实数的不等式与的解集依次为与，求使的的取值范围． 分析：分别求出集合、，然后再分类讨论． 解：解不等式， ， ∴． 解不等式，． 当时（即时），得． 当时（即时），得． 当时，要满足，必须故； 当时，要满足，必须　 ∴． 所以的取值范围是． 说明：在求满足条件的时，要注意关于的不等式组中有没有等号，否则会导致误解． 典型例题七 例6 已知数列通项公式对于正整数、，当时，求证：． 分析：已知数列的通项公式是数列的前项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式，问题便可解决． 证明：∵ ∴ ． 说明：是以为首项，以为公比，共有项的等比数列的和，误认为共有项是常见错误． 正余弦函数的值域，即，，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立． 典型例题八 例8 已知，，求证： 分析：本题中给定函数和条件，注意到要证的式子右边不含，因此对条件的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用，替出；(3)用绝对值的性质进行替换． 证明：∵，∴， ∵，∴． ∴， ∴ ， 即． 说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用． 典型例题九 例9 不等式 ... ...