中小学教育资源及组卷应用平台 3.3垂径定理（1） 教案 课题 3.3垂径定理（1） 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级（上） 学习目标 1．理解并掌握垂径定理；2．会利用垂径定理解决实际问题． 重点 圆的轴对称性的重要体现———垂径定理． 难点 垂径定理的导出过程有一定难度，是本节教学的难点． 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 创设情景，引出课题复习提问:如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。（２）正三角形是轴对称性图形吗？有几条对称轴？是，3（３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。强调：（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴.（2）圆的对称轴有无数条.判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）×思考：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O直径．(1)该图是轴对称图形吗？(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系，使它成为轴对称图形？请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．沿着直径将圆对折，你有什么发现？ (?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)点C与点D重合，CP与DP重合，＝，＝．你能将你的发现归纳成一般结论吗？垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明已知CD是直径，CD⊥AB，求证：CD平分AB，CD平分和 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC和弧BC,弧AD与弧BD重合．二、提炼概念垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.推导格式：∵ CD是直径，CD⊥AB，∴ AE=BE,弧AC =弧BC,弧AD =弧BD条件：直径垂直于弦结论：直径平分弦，直径平分弦所对的弧垂径定理的几个基本图形 思考自议通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； 理解圆的对称性，利用对称性理解垂径定理； 讲授新课 三、典例精讲例1、已知,如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点. (?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)作法:1. 连结AB;2. 作AB的垂直平分线CD,交弧AB与点E;∴点E就是所求弧AB的中点.例2、一条排水管的截面如图所示. 已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16. 求截面圆心O到水面的距离. (?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)解: 作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=AB/2=0.5×16=8 由勾股定理得:答: 截面圆心O到水面的距离为6.圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.归纳：1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；2 ．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： 遇到与弦有关的问题往往要过圆心作垂直于弦的直径． 在运用垂径定理求有关线段长度时有时需要分类讨论． 课堂检测 巩固训练1.如图，AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ）A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．BD=BC答案：C2．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3
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