考点08 函数与导数的综合运用 1．（2021·浙江高考真题）设a，b为实数，且，函数 （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足. (注：是自然对数的底数) 【答案】(1)时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为； (2)； (3)证明见解析. 【分析】 (1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性； (2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围； (3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立. 【详解】 (1)， ①若，则，所以在上单调递增； ②若， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上可得，时，在上单调递增； 时，函数的单调减区间为，单调增区间为. (2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解， 令，则， 记， 记， 又，所以时，时，， 则在单调递减，单调递增，， . 即实数的取值范围是. (3)有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数. 由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为， ， 注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，又由知， ， 要证，只需， 且关于的函数在上单调递增， 所以只需证， 只需证， 只需证， ，只需证在时为正， 由于，故函数单调递增， 又，故在时为正， 从而题中的不等式得证. 【点睛】 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用． 1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数在区间内有唯一零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（2021·北京高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为的是（ ） A． B． C． D． 3．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三一模（理））下列命题为真命题的是（ ） A．函数有两个零点 B．“，”的否定是“，” C．若，则 D．幂函数在上是减函数，则实数 4．（2021·全国高三专题练习（理））若方程在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是（ ） A． B．[0,2] C． D． 5．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））若函数有极值点，且，则关于x的方程的不同实根个数是（ ） A．2 B．3 C．3或4 D．3或4或5 7．（2021·四川德阳市·高三三模（理））已知函数，若存在，使，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））已知不等式(，，且)对任意实数成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 9．（2021·河南高三月考（理））若函数存在零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．（2021·河南高三月考（理））已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．（2021·全国高三月考（理））已知函数，，若的图象与的图象在上恰有个交点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．（2021·全国高三月考（理））已知函数为自然对数的底数)，若有解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 13．（2021·河南安阳市·高三三模（理））已知，若当时，总有，则的最大值为（ ） A． B． C．1 D． 14．（2021·全国高三其他模拟（理）） ... ...
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