高一暑假数学第8讲 平均值不等式 高一暑假数学第8讲 平均值不等式 思考：周长一定的情况下，什么样的矩形面积最大？ 思考：周长一定的情况下，什么样的矩形面积最大？ 对此有过了解的同学知道，是正方形. 假设矩形的周长是false，两个邻边的长度分别为false，false，那么false，矩形的面积false，那么false的最大值是多少？ 这里因为false，false是矩形的两个邻边长，所以false.利用消元，false，那么false（false），此时false就可以看做关于false的二次函数.我们之前已经学过怎么求二次函数的最值. false（false）开口向下，对称轴为false，所以false时false取得最大值，最大值为false，且此时false，即该矩形为正方形. 那么有没有更方便的办法呢？ 1. 平均值不等式 在之前的课程中，我们学习了一些不等式的性质求解和证明.在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，统称为基本不等式.本次课将重点学习平均值不等式. 首先来看我们熟悉的完全平方公式：false，我们知道，对于任意一个实数，它的平方总是非负的，所以 false， 256540320040定理 对于任意false，有 false， 当且仅当false时等号成立. 定理 对于任意false，有 false， 当且仅当false时等号成立. 而且取等号的充要条件是false.由此我们可以得到一个常用的不等式： 256540394970定理（平均值不等式） 对于任意的正数false，有 false， 当且仅当false时等号成立. 定理（平均值不等式） 对于任意的正数false，有 false， 当且仅当false时等号成立. 根据上面的不等式，我们可以证明： 证明 因为false，false均为正数，所以 false， 即 false， 当且仅当false时，原不等式两边才相等. 对于正数false，称false是false的算术平均值，并称false是false的几何平均值. 我们以前已经学过算数平均数的概念，所以false可以看作同一个量进行两次测量值的平均. 而false可以理解为，与两邻边长分别为false的矩形面积相等的正方形的边长. 因此平均值不等式可以用语言描述为：两个正数的算数平均值大于等于它们的几何平均值 （在false及false有可能为false时，平均值不等式也显然成立.因此对于任意的非负实数，平均值不等式都成立）. center234315定理 对于任意false，有 false， 当且仅当false时等号成立. 定理 对于任意false，有 false， 当且仅当false时等号成立. 同样的，我们可以证明： 证明 根据false，有 falsefalse 即 false， 当且仅当false时，等号成立. -63585725例1.1 例1.1 （教材P51例1改 ★） （1）设false，证明false，并指出等号成立条件. （2）设false，证明false，并指出等号成立条件. 【解答】 （1）false，所以false， 那么false， 所以false， 当且仅当false，即false时，等号成立. （2）false，无法直接使用平均值不等式. 考虑到false，所以false， 因为falsefalse， 所以falsefalse， 即false. 当且仅当false即false时，等号成立. 0151765例1.2 例1.2 （教材P52例5★）证明： （1）周长为常数的所有矩形中正方形的面积最大. （2）面积相同的所有矩形中正方形的周长最小. 【证明】 （1）本题我们在最开始已经用二次函数的思路进行了证明.现在再看一下如何用平均值不等式证明： 假设矩形的周长是false，两个邻边的长度分别为false，false，这里false.那么false，矩形的面积false.则 falsefalse， 当且仅当false，即矩形为正方形时，面积false取得最大值false. （2）设矩形的面积为false，两个邻边的长度分别为false，false，这里false.那么false，矩形的周长false.则 falsefalse， 当且仅当false，即矩形为正方形时，矩形的周长取得最小值false. 0132715例1.3 例1.3 （1）（新课程优选★★）已知false，求证：false ... ...
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