幂函数的概念 预备知识 幂的概念的推广 正比例函数的概念及其性质 反比例函数的概念及其性质 二次函数y＝ax2的概念及其性质 重点 幂函数的概念、定义域和值域 几个特殊指数的幂函数的图象及性质 难点 幂函数的定义域、值域 幂函数的图象及性质 学习要求 了解幂函数的概念 会求幂函数的定义域和值域 理解几个特殊指数的幂函数的图象及性质 能根据幂函数的性质比较同底幂的大小 设当年人口为12亿，如果人口的年净增率是5.3‰，那么到 25年后，人口总数y为 y=12?(1+0.0053)25=12? 1.005325， (1) 现在想知道，不同的年净增率对25年后总人口数y大小的 影响，年净增率不再是常数0.0053，而是一个可变化的量， 不妨用p来表示它．不同的p，计算y的公式是 y=12(1+p)25． 以x表示量1+p，上式成为 y=12x25． (2) 我们知道x25是x的25次幂，只是现在(2)中的x不是常数，而 是一个变量，那么它是什么呢？ 引入： 1．幂函数的定义 对每一个x?1，x25是一个幂；随着x的变化，幂的大小 也发生变化。对每一个确定的x，x25有唯一确定的值与之对 应，因此x与x25之间具有函数关系．这种类型的函数关系， 叫做幂函数． 幂函数的一般形式是y=x?，其中x是自变量， ?叫做幂 指数(??0)，幂指数是常量． 幂指数?仅有一个限制：??0，即?可以取任意不等于零的确 定的实数值． 2.幂函数的定义域和值域 我们先来考察几个具体幂函数的例子． 例1 求下列幂函数的定义域和值域： (1)y= ； (2)y= ； (3)y= 分析 根据有理指数幂的定义 当 >0时，a的允许取值范围及所得幂的范围 如下表: q p a允许取值 范围 ap值 值的范围 ＞0 奇数 偶数 (-?,+?) [0,+?) [0,+?) 奇数 (-?,+?) (-?,+?) 偶数 奇数 [0,+?) [0,+?) [0,+?) 解 (1)因为指数 >0，且指数的分母、分子均为奇数，对 照上表，即知其定义域为(-?,+?)，值域为(-?,+?)； (2)因为指数 >0，且指数的分母为奇数，分子为偶数，对 照上表，即知其定义域(-?,+?)，值域为[0,+?)； (3)因为指数 >0，且指数的分母为偶数，分子为奇数，对 照上表，即知其定义域[0,+?)，值域为[0,+?)． 当 <0时，只要把上表中把a允许取值范围及 去掉0，其余不变． 值的范 围 例2 求下列幂函数的定义域和值域： (1)y= ； (2)y=x -2； (3)y= ． 分析 根据有理指数幂的定义 ，当 ＜0时，a的允许取值范围及所得幂的范围如下表： q p a允许取值 范围 ap值 值的范围 ＜0 奇数 偶数 (-?,0)?(0,+?) (0,+?) (0,+?) 奇数 (-?,0)?(0,+?) (-?,0)?(0,+?) 偶数 奇数 (0,+?) (0,+?) (0,+?) 解 (1)因为指数- <0，且指数的分母、分子为奇数，对 照上表知其定义域为(-?,0)?(0,+?)，值域为(-?,0)?(0,+?)； (2)因为指数-2<0，且指数的分母为奇数(分母为1，作为奇 数)，分子为偶数，对照上表并注意去掉0，即知其定义域 为(-?,0)?(0,+?)，值域为(0,+?)； (3)因为指数- ＜0，且指数的分母为偶数，分子为奇数， 对照上表知其定义域为(0,+?)，值域为(0,+?)． 对其它的幂函数y=x?，当?为有理数 来确定它的定义域和值域． 时，可仿例1、例2 课内练习1 1. 确定下列幂函数的定义域和值域. (1)y=x3； (2)y=x-2； (3)y=x3/ 4； (4)y=x – 2/ 3； (5)y=x – 5/2； (6)y=x 4/5． 再见 ... ...
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