习题课 对称问题 学习目标 1.学会点点、点线、线线对称问题.2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题． 导语 同学们，生活中，我们身边有很多和对称有关的事物，比如书桌、水杯、火车、楼房等，包括我们身体的某些器官也是对称的，眼睛的对称，使我们的视觉更加准确、全面，耳朵的对称，使声音有较强的立体感，对称不仅是自然界中的一种生物现象，在数学领域也发挥着巨大的作用，今天我们就直观感受一下直线的对称美． 一、几类常见的对称问题 例1 已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程． 解 (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l， 即解得 ∴点P′的坐标为(－2,7)． (2)解方程组得 则点在所求直线上． 在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)， 设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， 则解得 点M′也在所求直线上． 由两点式得直线方程为＝， 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程． (3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)， 则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4)． 因为点E′，F′在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为＝， 即3x－y－17＝0. 反思感悟 对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式． 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x,2b－y)． (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得． (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题． 跟踪训练1 已知P(－1,2)，M(1,3)，直线l：y＝2x＋1. (1)求点P关于直线l对称点R的坐标； (2)求直线PM关于直线l对称的直线方程． 解 (1)设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)， 则有解得 R. (2)因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程， 又点P关于直线l的对称点为R， 则直线MR为所求的直线，方程为11x＋2y－17＝0. 二、光的反射问题 例2 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程． 解 如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得 解得 ∴A的坐标为(4,3)． ∵反射光线的反向延长线过A(4,3)， 又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y＝3. 联立解得 由于反射光线为射线， 故反射光线的方程为y＝3. 由光的性质可知， 光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|， 由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8， 即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8. 反思感悟 根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解． 跟踪训练2 如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是( ) A．2 B．6 C．3 D．2 答案 A 解析 由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2. 三、利用对称解决有关最值问题 例3 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得： (1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大； (2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小． 解 (1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为( ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
