§4 二项式定理 4．1 二项式定理的推导 第1课时 二项式定理 学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 导语 艾萨克·牛顿Isaac Newton(1643－1727)英国科学家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立二项式定理，牛顿是如何思考的呢？ 一、二项式定理 问题1 在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？ 提示 从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×bk(k＝0,1,2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C，即a2－kbk的系数是C. 问题2 你能根据问题1的分析，写出(a＋b)3的展开式吗？ 提示 (a＋b)3＝Ca3＋Ca2b＋Cab2＋Cb3. 知识梳理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，可以简写成(a＋b)n＝Can－kbk. (1)这个公式称为二项式定理． (2)展开式：等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k＝0,1,2，…，n)称为二项式系数． (4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第k＋1项称为二项式通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n； (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止． (3)a与b的位置不能交换； (4)Can－kbk表示的是第(k＋1)项． 例1 求4的展开式． 解 方法一 4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋. 方法二 4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2. 反思感悟 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． 跟踪训练1 求5的展开式． 解 方法一 5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋C(2x)32＋C(2x)23＋C(2x)·4＋C5 ＝32x5－120x2＋－＋－. 方法二 5＝ ＝[C(4x3)5＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3(－3)2＋C(4x3)2(－3)3＋C(4x3)(－3)4＋C(－3)5] ＝32x5－120x2＋－＋－. 二、二项式定理的逆用 例2 (1)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC. 解 原式＝C·1n·20＋C·1n－1·2＋C·1n－2·22＋…＋C2n＝(1＋2)n＝3n. 延伸探究 若将式子变为“1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC”，求化简结果． 解 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n. (2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1. 解 原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C·(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 反思感悟 逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式． 跟踪训练2 化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 解 原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C( ... ...
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