习题课 含参数的函数的最大(小)值 学习目标 1.能利用导数求简单的含参的函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题． 一、求含参数的函数的最值 例1 已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值． 解 f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)， 令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a. ①当a>0时，f(x)在[0，a)上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数．所以f(x)min＝f(a)＝－a3. ②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝0. ③当a<0时，f(x)在上是减函数， 在上是增函数． 所以f(x)min＝f?＝a3. 综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3； 当a＝0时，f(x)的最小值为0； 当a<0时，f(x)的最小值为a3. 延伸探究 当a>0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a,2a]上的最值． 解 f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)， 令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a. 所以f(x)在上是增函数，在上是减函数，在[a,2a]上是增函数． 因为f(－a)＝－a3，f?＝a3，f(a)＝－a3， f(2a)＝2a3. 所以f(x)max＝f(2a)＝2a3. f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3. 反思感悟 含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 跟踪训练1 已知a∈R，函数f(x)＝x2，求f(x)在区间[0,2]上的最大值． 解 f(x)＝x3－ax2，则f′(x)＝x2－2ax. 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a. 令g(a)＝f(x)max， ①当2a≤0，即a≤0时， f(x)在[0,2]上是增函数， 从而g(a)＝f(x)max＝f(2)＝－4a. ②当2a≥2，即a≥1时，f(x)在[0,2]上是减函数， 从而g(a)＝f(x)max＝f(0)＝0. ③当0<2a<2，即0
0，且当x变化时， f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f′(x) ＋ 0 － f(x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b 由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值， ∴f(0)＝b＝3. 又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(－1)， ∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29. 反思感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题． 跟踪训练2 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围． 解 ∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1， ∴h′(x)＝3x2＋6x－9. 令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1， 当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞) h′(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x) ↗ 28 ↘ －4 ↗ ∴当x＝－3时，h(x)取极大值28； 当x＝1时，h(x)取极小值－4. 而h(2)＝3