苏教版（2019）高中数学 选择性必修第一册 习题课　利用递推公式构造等差、等比数列求通项（课件+学案）

习题课　利用递推公式构造等差、等比数列求通项 学习目标　1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法.2.会用构造法公式解决一些简单的问题． 一、利用递推公式构造等差数列求通项 例1　已知数列满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列的通项公式． 解　因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n，得＝＋1，即－＝1，所以是以为首项，以1为公差的等差数列，即＝＋(n－1)×1，所以an＝×2n. 延伸探究　 (1)本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n＋1”，其余不变，求数列的通项公式． 解　等式两边同时除以2n，得＝＋2，即－＝2，所以是以为首项，以2为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×2，即an＝×2n. (2)本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n－1”，其余不变，求数列的通项公式． 解　等式两边同时除以2n，得＝＋，即－＝，所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×，即an＝n×2n－1. 反思感悟　形如an＝pan－1＋pn(p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤 第一步：等式两边同除以pn，不管这一项是pn－1或pn＋1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来． 第二步：写出数列的通项公式． 第三步：写出数列的通项公式． 跟踪训练1　已知数列满足＝＋，且a1＝1，求数列的通项公式． 解　由题意，等式两边同乘2n，得＝＋1，即－＝1，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1，即an＝. 二、利用递推公式构造等比数列求通项 例2　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求{an}的通项公式． 解　∵an＋1＝2an＋1，an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，∴t＝1， 即an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1. 延伸探究　 已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋n＋1，求an. 解　令an＋1－A·n＋1＝， 则an＋1＝an＋·n＋1. 由已知条件知＝1，得A＝3， 所以an＋1－3×n＋1＝. 又a1－3×1＝－≠0， 所以是首项为－，公比为的等比数列． 于是an－3×n＝－×n－1， 故an＝3×n－2×n. 反思感悟　(1)形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下： 第一步：假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步：由待定系数法，解得t＝； 第三步：写出数列的通项公式； 第四步：写出数列{an}的通项公式． (2)形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式的一般步骤类似于形如an＋1＝pan＋q求通项公式的步骤，要注意数列的下标与q的指数的对应关系． 跟踪训练2　(1)已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.证明数列{an＋4}是等比数列．并求数列{an}的通项公式． 解　∵a1＝－2，∴a1＋4＝2. ∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)， ∴＝2， ∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋4＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－4. (2)已知数列满足an＋1＝3an＋2n＋1且a1＝1，求数列的通项公式． 解　由题意得，an＋1＋A·2n＋1＝3(an＋A·2n)， 即an＋1＝3an＋A·2n，故A＝2， 所以an＋1＋2n＋2＝3(an＋2n＋1)， 所以是以5为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋2n＋1＝5·3n－1，即an＝5·3n－1－2n＋1. 1．知识清单： (1)形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式． (2)形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式． (3)形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式． 2．方法归纳：构造法． 3．常见误区：构造的新的数列的首项易误认为还是a1. 1．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4，则a2 021的值为(　　) A．32 020 B．32 020＋2 C．32 021＋2 D．32 021－2 答案　B 解析　因为an＋1＝3an－4，an＋1＋t＝3(an＋t)，即an＋1＝3an＋2t，所以2t＝－4，t＝－2，即an＋1－2＝3(an－2)，所以{an ... ...