二次函数 与 一元二次方程的关系 一、探究 探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。 解：∵A、B在轴上， ∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？ x2-3x+2=0 结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。 即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ） x1，0 x2，0 x O A B x1 x2 y 探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？ b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac＜0 O X Y 结论2： 抛物线y=ax2+bx+c 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明： 1、 b2-4ac ＞0 一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不等的实数根 与x轴有两个交点———相交。 抛物线y=ax2+bx+c 2、 b2-4ac =0 一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根 与x轴有唯一公共点———相切（顶点）。 抛物线y=ax2+bx+c 3、 b2-4ac ＜0 一元二次方程ax2+bx+c=0 没有实数根 与x轴没有公共点———相离。 二、基础训练 1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ； 3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p= ，q= 。 2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 。 4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。 （1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 （3）y=x2-4x+4 6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条件是（ ） （A）a＜0 b2-4ac≤0 （B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 （D）a＜0 b2-4ac＜0 D 三、例题推荐 1、已知二次函数y=x2-kx-2+k. (1)求证:不论k取何值时，这个二次函数 y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。 (2)如果二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点为A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6时,求S△ABC . 2、已知抛物线y=x2+2x+m+1。 （1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。 （2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，求m的值。 3、已知抛物线y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）. 求证:不任m为何实数,抛物线与x轴都有两个不同的交点, 4、已知抛物线C经过(-5,0)(0,5/2)(1,6)三点,直线L的解析式是Y=2X-3. （1）求抛物线C的解析 （2）求证：抛物线C与直线L无交点 （3）若与L平行的直线Y=2x+m与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标。 四、小结 1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ） 2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。 ... ...
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