第11章 专项2用几何法求空间角 复习课讲义-2021-2022学年高二（暑期）数学人教B版必修4（原卷版+解析版）

第十一章 《立体几何初步》复习课讲义 专项2 用几何法求空间角 知识梳理.空间角 1.异面直线的定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线 （1）异面直线所成的角的范围：． （2）求法：平移→ 2．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.0°≤φ≤90° 3．求二面角的大小 (1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)． 题型一. 点到面的距离 1．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则P到平面BQD的距离为　　． 【解答】解：∵Q为线段AP的中点， ∴P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离， 设A到平面BDQ距离为d，则 ∵PA⊥平面ABCD，AQ＝1，AB＝3，BC＝4， ∴BQ，DQ，BD＝5， ∴cos∠BQD， ∴sin∠BQD， ∴S△BQD， ∵S△BAD＝6， ∴由VA﹣BDQ＝VQ﹣DAB可得， ∴d． 故答案为：． 2．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，若则点A到平面A1BC的距离为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设点A到平面A1BC的距离为h， ∵， ∴， ∴， 解得h， 故选：B． 3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，M为PC的中点． （Ⅰ）在棱PB上是否存在一点Q，使用A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由． （Ⅱ）求点D到平面PAM的距离． 【解答】解：（Ⅰ）当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面， 证明如下： 取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以QM∥BC， 在菱形ABCD中AD∥BC，所以QM∥AD， 所以A，Q，M，D四点共面． （Ⅱ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离， 取AD中点O，连结OP，OC，AC，可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高． 在Rt△POC中，PO＝OC，PC， 在△PAC中，PA＝AC＝2，PC，边PC上的高AM， 所以△PAC的面积S△PAC， 设点D到平面PAC的距离为h，S△ACD 由VD﹣PAC＝VP﹣ACD得，解得h， 所以点D到平面PAM的距离为． 4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为AB，PB的中点，EB＝EA，且PA⊥AC，PC⊥BC． （Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC； （Ⅱ）若PA＝2BC且AB＝EA，三棱锥P﹣ABC．体积为1，求点B到平面DCE的距离． 【解答】证明：（Ⅰ）∵在正△AEB中，D是AB的中点，∴ED⊥AB， ∵E是PB的中点，D是AB的中点，∴ED∥PA，∴PA⊥AB， 又PA⊥AC，AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABC， ∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC， 又PC⊥BC，PA∩PC＝P，∴BC⊥平面PAC． 解：（Ⅱ）设AB＝EA＝a，则PB＝2a，PA＝2BCa， AC， ∵三棱锥P﹣ABC体积为1， ∴VP﹣ABC1， 解得a＝2， 以C为原点，CB，CA，过C点作平面ABC的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， B（，0，0），A（0，1，0），D（，0）， C（0，0，0），P（0，1，2），E（，，）， （，0，0），（，0），（）， 设平面DCE的法向量（x，y，z）， 则，取x＝1，得（1，，0）， ∴点B到平面DCE的距离d． 题型二. 异面直线所成的角 1．已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M、N分别是AB、PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【解答】解：连接AC，并取其中点为O，连接OM，ON 则OMBC，ONPA， ∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角． 由MN＝BC＝4，PA＝4， 得OM＝2，ON＝2，MN＝4， cos∠ONM． ∴∠ONM＝30°． 即异面直线PA ... ...