(
课件网) 2.3.1 两条直线的交点坐标 由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系? 两条直线的交点 1.已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组 2. 名师点析如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解. 微练习 直线x+y=5与直线x-y=3交点坐标是( ) A.(1,2) B.(4,1) C.(3,2) D.(2,1) 答案:B 两条直线的交点问题 例1分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点. (1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; (2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; (3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交. 反思感悟两直线位置关系的判断方法及应用 涉及两直线交点的问题,通常是先求交点坐标,再进一步解决问题. 变式训练1已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是 .? 过两直线交点的直线系方程 例2(1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程; (2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点. 思路分析:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出λ,即得所求直线方程. (2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0. 解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.∵点P(1,0)在直线上, ∴1-2+λ(3+2)=0. 反思感悟利用直线系方程求直线的方程 经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点. 变式训练2已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0, x-y-1=0的交点,则直线l的方程为( ) A.2x+y=0 B.2x-y=0 C.x+2y=0 D.x-2y=0 (方法2)设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其过原点,所以8+(-λ)=0,λ=8,直线l的方程为2x-y=0. 答案:B 对称问题 例3光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程. 思路分析:求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程 反思感悟点关于直线的对称点的求法 变式训练3直线y=2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线,若A,B两点的坐标分别为A(-4,2),B(3,1),求点C的坐标. 解:把A,B两点坐标代入y=2x知,A、B不在直线y=2x上,因此y=2x为角C的平分线,设点A(-4,2)关于y=2x的对称点为A'(a,b),则 一题多解———求直线的方程 典例过点P(3,0)作一直线分别交直线2x-y-2=0和x+y+3=0于点A,B,且点P恰好为线段AB的中点,求此直线的方程. 解:分析一:设出直线的方程,求出交点的坐标,再用中点坐标公式. 解法一:若直线斜率不存在,则方程为x=3. ∴k=8. ∴所求直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0. 分析二:设出A(x1,y1),由P(3,0)为AB的中点,易求出B的坐标,而点B在另一直线上,从而求出x1、y1的值,再由两点式求直线的方程. 解法二:设A点坐标为(x1,y1),则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标为(6-x1,-y1). ∵点A,B分别在已知两直线上, 分析三:由于P(3,0)为线段AB的中点,可对称地将A,B坐标设为(3+a,b),(3-a,-b),代入已知方程. 解法三:∵P(3,0)为线段AB的中点,∴可设A(3+a,b),B(3-a,-b). ∵点A,B分别在已知直线上, 点评:解法三这 ... ...
