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课件网) 3.1.1 椭圆及其标准方程 《今日美国》2018年12月9日报道,“天文爱好者们即将看到一个惊喜,名为‘46P/Wirtanen’的彗星,即将成为1950年以来最接近地球的10颗彗星之一.‘46P/Wirtanen’会在美国时间12月16日最接近地球.届时,这颗彗星将“仅”距离地球710万英里(从天文的角度来说,这已经很近了).在此期间,这颗彗星应该肉眼可见.” 天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢? 原来,这颗彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行的周期及轨道的周长,预测它接近地球或离去的时间. 一、椭圆的定义 1.定义 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距. 2.定义的集合语言表述 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}. 名师点析在椭圆定义中,要求常数必须大于两定点F1,F2之间的距离,这是椭圆定义中非常重要的一个条件,可以验证:如果这个常数等于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将是一条线段;如果这个常数小于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时,务必注意这一隐含的条件. 微练习 下列说法中,正确的是( ) A.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B.到点M(0,-3),N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 D.到点M(0,-3),N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆 答案:C 二、椭圆的标准方程 0 0 0 名师点析1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴. (2)已知a=5,c=2,焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为 .? 解析:(1)因为10>6,所以焦点在x轴上,且a2=10,b2=6, 所以c2=10-6=4,c=2,故焦点坐标为(2,0)和(-2,0). 求椭圆的标准方程 1.待定系数法 例1根据下列条件,求椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); 思路分析:(1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(3)焦点位置不确定,可以分两种情况分别求解,也可直接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 反思感悟椭圆方程的求法 1.利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下: (1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求a,b,c的等量关系;(4)求a,b的值,代入所设方程. 2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为焦点位置包括焦点在x轴上(m
n)两种情况,所以可以避免分类讨论,从而简化运算. 变式训练1根据下列条件,求椭圆的标准方程. (2)经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点. 2.定义法 例2一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程. 思路分析:两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,由此可以找到动圆圆心满足的条件等式. 解:两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9. 设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R, ∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6. 由椭圆的定义可知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16. 反思感悟1.若动点轨迹满足椭圆的定义,则根据椭圆的定义来确定a,b,c,从而确定椭圆的标准方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法. 2.一般步骤: (1)将条件转化为到两定点的距离之和为定值(该定值大于两定点之间的距离); (2)判 ... ... 
