第二章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的应用 第2课时 图形面积问题 一元二次方程标准形式： ????????2+????????+????=0 ? （a≠0） 在b2-4ac≥0时，它的根为 ?????=?????±????2?4????????2???? ? (b2-4ac≥0) 设一元二次方程 的两根为x1与x2. ax2+bx+c=0 ? （a≠0） 则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，可写为a(x-x1) (x-x2) 对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ≥0时，设方程的两根为 x1与 x2，则 x1＋x2＝_____，x1·x2＝_____，这个关系定理通常被称为_____． 韦达定理 1.审题,找出问题中的等量关系 2.根据题意，设未知数 3.把等量关系转换成一元二次方程 4.选取适当的方法解方程 5.根据题意对求出的根的实际意义进行检验 6.答题 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 审 设 列 解 验 答 例3 如图2-2，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364 cm2. 求截去的小正方形的边长. 底面长×宽 = 底面积 你能找出问题中涉及的等量关系吗？ 若设截去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm，根据等量关系你能列出方程吗？ 解得 x1=27，x2=7 ． 因此 原方程可以写成 x2-34x+189=0. 这里 a=1，b=-34，c=189， b2-4ac =(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189 = 4(172-189)=4×(289-189)=400， (40-2x)(28-2x)=364 接下来请你解出此一元二次方程 两个根都符合题意吗？ 解： 如果截去的小正方形的边长为27 cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54 cm，这超过了矩形铁皮的长40 cm. 因此 x1=27不合题意，应当舍去． 答：截去的小正方形的边长为7 cm． 检验： 例4 如图2-4，一长为32m、宽为24m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540m?，求道路的宽. 分析：虽然“整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算。 分析 ：若把道路平移，此时绿化部分就成了一个新的矩形了， 问题中涉及的等量关系是什么？ 矩形面积=矩形的长×矩形的宽 若设道路宽为x m，则新矩形的边长为(32-x)m，宽为(20-x)m，根据等量关系你能列出方程吗？ (32-x)(20-x)=540 整理，得 x?-52x+100=0 解得 x1=2 , x2=50 又要问自己一个问题：两个根都符合题意吗？ 检验：x2=50＞32 ，不符合题意，舍去，故 x=2. 答：道路的宽为2米. 例5 如图2-6所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm? ？ 问题中涉及的等量关系是什么？ 两直角边的乘积的一半 = 直角三角形的面积 S△PCQ= 12 PC×CQ ? 你能根据等量关系列出方程吗？ 根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm 若设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm? 整理，得 解得 x1= x2=3 答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm?. 解： 如图， 在长为100m、宽为80m 的矩形地面上要修建两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分进行绿化．若要使绿化面积为7644 m2，则路宽应为多少米？ 100m 80m 解： 设修建的路宽应为x米，则根据题意得 化简，得 解得 （不合题意，舍去） 修建的路宽应为2m. 答： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AC， BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？ 答：点P，Q同时出发2s后可使可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半. 整理， 得 ????2?14????+24=0. ... ...
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