素养目标 学法指导 1．了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(直观想象) 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.(数学运算) 3．理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(逻辑推理) 1．要进一步深化类比实数的乘法运算，加强对向量的数乘运算的理解，并且感受两者的差异. 2．类比三角函数伸缩变换的特征感受向量的数乘运算中向量伸缩的含义，进一步理解两个平面向量共线的含义. 3．进一步深化对线性运算几何意义的理解，把握平面几何中位置关系与向量共线之间的联系. 20210305 1.向量加法的运算法则： 三角形法则（首尾相接） 平行四边形法则（共起点） 2.向量减法的运算法则： 三角形法则（共起点） 共起点， 方向指向被减数的向量 为连接两向量终点， 复习回顾 O A B 探究1 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).它们的长度和方向分别是怎样的？ a a a A B C O a -a -a -a P Q M N 新课导入 当λ>0时，与a方向 ， 当λ<0时，与a方向 ； 1.向量的数乘定义 实数λ与向量a的积是一个_____，这种运算叫做向量的_____，记作____. 向量的数乘运算 知识点1 向量 数乘 |λ||a| 相同 相反 方向： 当λ＝0时，λa＝0； （-1）a＝-a 长度：|λa|＝_____. λa 可知： 我们还可以从向量数乘运算的角度来理解零向量与相反向量的概念. 思考：如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变，得到向量b，向量b该如何表示？向量a，b之间的关系怎样？ b=3.5a |b|=3.5|a| b和a方向相同 练习1 若a=- b（b≠0），则（ ） A. a和b方向相同，|a|=2|b| B. a和b方向相同，|b|=2|a| C. a和b方向相反，|a|=2|b| B. a和b方向相反，|b|=2|a| C 练习3（课本P15T2） 点C在线段AB上，且 ，则 . A C B 练习2 已知向量a与b方向相反，且|a|=r，|b|=R，b=λa，则λ=_____. 2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 （结合律） （分配律） （分配律） 3．向量的线性运算 向量的___、___、____运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是_____. 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_____. λμ1a±λμ2b 加 减 数乘 向量 [知识解读] （1）λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍. （2）λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量.实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义. （3）注意向量数乘的特殊情况： ①若λ＝0，则λa＝0； ②若a＝0，则λa＝0． 例题1 计算下列各式. 题型一 向量的线性运算 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数. 归纳提升 题型二 用向量的线性运算表示未知向量 例题2 如图，平行四边形ABCD两对角线相较于点M，且 =a， =b，请用a，b表示 、 、 和 . A B C M D 解：在平行四边形ABCD中， D 于（ ） 练习4 题型二 用向量的线性运算表示未知向量 解： 共线向量(或平行向量) 探究2 能否用一个前面学过的概念来刻画 和 的关系？ ? 同向 反向 令 令 令 令 不存在 所以当 时, 数学符号表示： 思考： 时， 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_____. 向量共线定理 知识点2 b＝λa （1）为何要求a是非零向量？ （2）b可以是零向量吗？ （3）对任意向量a，b，若b＝λa，那么a与b共线，对吗？ 对任意向量a，b，若b＝λa，那么a与b方向相同或相反，对吗？ （4）对任意向量a，b，若a与b共线，那么一定有b＝λa吗？ 可以. 对. ×，λ=0，b=0 ×，a=0 若a=0，b≠0，a与b共线但此时λa=0，不存 ... ...
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