复习巩固 如果e1，e2是同一平面内的两个_____向量，那么对于这一平面内的_____向量a，_____实数λ1，λ2，使a＝_____. 1. 平面向量的基本定理 有且只有一对 λ1e1＋λ2e2 若e1，e2_____，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内_____向量的一个基底. 不共线 所有 2. 基底 不共线 任一 M N O 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。 e1，e2的长度为多少时更方便我们研究呢？ M N O 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 1. 平面向量的正交分解 新课讲授 O x y 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底． 对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj . 思考 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示. 那么，如何表示直角坐标平面内的每一个向量呢？ M N 我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标， y x O x y 对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj . 2. 平面向量的坐标表示 记作: x叫做a在x轴上的坐标 y叫做a在y轴上的坐标， a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示， 特殊向量的坐标： i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 注：每个向量都有唯一的坐标. y x O y 2．以原点O为起点作 的坐标关系如何？ 点A的坐标与向量 两者相同 1．以原点O为起点作 点A的位置由谁确定? 由 唯一确定 注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同. 概念理解 3．向量 与 相等，利用坐标如何表示？ 当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标. x y 概念理解 4．区别： （1）表达形式不同，如a＝(1,2)，A(1,2). （3）符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义： ①表示一个固定的点②表示一个向量.为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y). 向量有等号，点无等号 （2）给定一个向量，它的坐标是唯一的； 给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个. 例题1 如图，用基底 ，分别表示向量 、 、 、 ，并求它们的坐标． -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 A B 1 2 -2 -1 y 4 5 3 -4 -3 -5 练习1 如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示 ，并求出它们的坐标. 思考 已知向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，你能得出a+b，a-b的坐标吗？ 3. 平面向量加、减运算的坐标表示 【结论】两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 例题2 已知向量a＝(2，1) ，b＝(-3，4)，求a+b,a-b的坐标. 探究 已知 ，你能得出 的坐标吗？ 【结论】一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去起点的坐标. 如图作向量 解析： 解法1：设顶点D的坐标为（x，y） 例题3 已知 ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(-2，1)，(-1，3)，(3，4) ，求顶点D的坐标． ∴顶点D的坐标为（2，2） O y x A B C D 解法2：由向量加法的平行四边形法则可知 例题3 已知 ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(-2，1)，(-1，3)，(3，4) ，求顶点D的坐标． ∴顶点D的坐标为（2，2） 你能比较两种解法在思想方法上的异同点吗？ 1．判断正误 (1)相等向量的坐标相同．( ) (2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标．( ) (3)一个坐标对应于唯一的一个向量．( ) (4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．( ) 练习巩固 √ √ √ × 2．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若 ＝4i＋2j， ＝3i＋4j，则 的坐标是( ) A．(1，－2) B．(7,6) C．(5, ... ...
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