-86360-36195专题四 离散型随机变量的均值与方差 专题四 离散型随机变量的均值与方差 【必备知识点】 一．离散型随机变量的期望 1.定义： 一般地，若离散型随机变量的概率分布为 … … P … … 则称…… 为的均值或数学期望，简称期望． 2．性质： ①； ②若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，有； 的推导过程如下：： 的分布列为 … … … … P … … 于是…… ＝……)……)＝ ∴。 二．离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念： 已知一组数据，，…，，它们的平均值为，那么各数据与的差的平方的平均数 ＋＋…＋叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量的概率分布为 … … P … … 则称＝＋＋…＋＋…称为随机变量的方差，式中的是随机变量的期望． 的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作． 3.期望和方差的关系： 4.方差的性质： 若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，； 三．常见分布的期望与方差 1、二点分布： 若离散型随机变量服从参数为的二点分布，则 期望 方差 证明：∵,,, ∴ 2、二项分布： 若离散型随机变量服从参数为的二项分布，即则 期望 方差 期望公式证明： ∵， ∴， 又∵， ∴＋＋…＋＋…＋ ． 3、几何分布： 独立重复试验中，若事件在每一次试验中发生的概率都为，事件第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且，，称离散型随机变量服从几何分布，记作：。 若离散型随机变量服从几何分布，且则 期望 方差 要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。 4、超几何分布： 若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则 期望 四．离散型随机变量的期望与方差的求法及应用 1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤： ①理解的意义，写出可能取的全部值； ②求取各个值的概率，写出分布列； … … P … … ③根据分布列，由期望、方差的定义求出、、： . 2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用 ① 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； ② 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。 ③对于两个随机变量和，当需要了解他们的平均水平时，可比较和的大小。 ④和相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较和，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比较集中．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关． 【典例展示】 例1． 已知随机变量X的分布列为： X －2 －1 0 1 2 P false false false m false 试求：（1）E（X）；（2）若y=2X－3，求E（Y）． 【解析】 （1）由随机变量分布列的性质，得 false，false， ∴false。 （2）解法一：由公式E（aX+b）=aE（X）+b，得 false． 解法二：由于Y=2X－3，所以y的分布如下： X －7 －5 －3 －1 1 P false false false false false ∴false。 例2. 袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用false表示得分数。 求：①false的概率分布列；②false的数学期望。 【解析】①依题意false的取值为0、1、2、3、4 false=0时，取得2黑球，∴false， false=1时，取得1黑球1白球， ∴falsefalse， false=2时，取2白球或1红球1黑球，∴falsefalse， false=3时，取1白球1红球，∴falsefalse， false=4时，取2红球，∴falsefalse， ∴false分布列为 false 0 1 2 3 4 p false false false false false ②期望false. 例3． 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为false，乙每次击中目标的概率 ... ...
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