谈一元二次方程的有理根与整数根的条件 整系数一元二次方程有有理根的充要条件是：为一有理数的平方。而有整数根，△必为一完全平方式。 注意这里a、b、c皆为整数，前者△是有理数的平方，而非一般认为的完全平方式。而后者△为一完全平方式只是必要条件，不是充分条件，正确应用这些条件，可以解决很多有趣的问题，但在应用中往往要结合整数性质进行讨论。 一、与有理根有关的问题 例1.m为有理数，问k为何值时，方程的根为有理数？ 解：原方程即： 如若有有理根，则应是某一有理数的平方，可知，从而。 本题也可这样解： 原方程化为 如有有理根，则 得 二、与整数根有关的问题 例2.若方程有整数根，且m、n为自然数，则m、n的值有_____个。 解：有整数根，则为一完全平方式，设为，于是 即 视<1>为m的一元二次方程，它应有整数解，由 可见 （1）令，则<1>式为 （2）若要有整数解，则 应为完全平方式。 令，则 因为 所以有如下两种情形。 无整数解，舍去。 代入<2>式得： 所以或（舍去） 将代入（*）式得： 所以满足条件。由对称性（方程系数是对称的）知也是所求。 （2）令，则<1>式为 <3>若有整数解，则应为某一完全平方式，故令，则 因为 所以又有两种情形。 代入<3>式得：或（舍去） 将代入（*）得： 所以为所求。 代入<3>式得：或（舍去） 将代入（*）式得： ，有整数解，故为所求。 由对称性知也为所求。 故符合题意的整数对m、n有（5，1）、（1，5）、（3，2）、（2，3）、（2，2）共5个。 三、与因式分解有关的问题 例3.m是什么整数时，能分解成两个连续自然数的积？ 解：设（n为自然数），则 原问题即m为何值时关于n的一元二次方程<1>有正整数解，所以应为某整数的平方，设为。则 化为 因为m是整数，故再次利用有整数解的条件，应有是某一整数的平方，也即为一完全平方数，又设为，于是，即或 因为 所以 又因是偶数，故与有相同的奇偶性，故<3>式只对划线部分有解。 ① ② ③ ④ 由①解得：，此时<2>式为： 或（舍去） 由②解得：，此时<2>式为： 或（舍去） 由③解得：，此时<2>式为： 或（舍去） 由④解得：，此时<2>式为： 或（舍去） 经检验，均为所求值，所以时，能分解成两个连续的自然数的积。事实上，对： 时， 时， 时， 时， 注意“△是一完全平方式”只是整系数一元二次方程有整数根的必要条件，倘若将它视为充要条件则会出现错误。 例4.（1998年全国初中数学竞赛试题） 已知方程（a是非负整数）至少有一个整数根，那么_____。 如若认为是完全平方式，从而原方程至少有一整数根，那就大错特错了。实际上由方程解出。故当或或时均不可能有整数解。 ... ...
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