5.1.1 变化率问题 教案-2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 教学设计 一、教学目标 1. 通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程； 2. 体会曲线割线与切线的斜率； 二、教学重难点 1. 教学重点 平均速度、瞬时速度的概念及求法以及曲线割线与切线斜率的求法. 2. 教学难点 平均速度与瞬时速度、曲线割线与切线斜率的概念以及两者之间的关系. 三、教学过程 （一）新课导入 问题：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ （二）探索新知 运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快.我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态. 例如，在这段时间里，； 在这段时间里，. 一般地，在这段时间里，. 思考：计算运动员在这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ （学生思考，举手回答，教师讲解） 我们发现，运动员在这段时间里的平均速度为0.显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 思考：瞬时速度与平均速度有什么关系？利用这种关系求运动员在时的瞬时速度. （学生分小组讨论，每组选出一位代表回答，教师总结、讲解） 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度. 为了求运动员在时的瞬时速度，我们在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当时，在1之后；当时，在1之前.当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度.当时，在时间段内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格（表5.1-1）. 表5.1-1 当时，在时间段内 当时，在时间段内 …… …… 思考：给出更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值.当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？ 当无限趋近于0，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于. 事实上，由可以发现，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于，这与前面得到的结论一致.数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为. 从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度.因此，运动员在时的瞬时速度. 问题：如何定义抛物线在点处的切线？ 与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况. 如上图，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线. 抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系.记，则点的坐标是.于是，割线的斜率. 我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率，并且可以通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格（表5.1-2）. 表5.1-2 …… …… 当无限趋近于0时，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线的斜率都无限趋近于2. 事实上，由可以直接看出，当无限趋近于0时，无限趋近于2.我们把2叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为. 从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线.这时，割线 ... ...