自学导引 1.如果直线l与平面α垂直，很自然定义l与平面α所成的角θ为 ，θ＝ ．如果直线l与平面α不垂直，则l在α内的射影是一条直线l′，将l与l′所成的角θ定义为l与平面α ． 2.作直线l的方向向量υ和平面α的法向量n，并且可选υ与n所成的角θ1∈.利用数量积运算可求出 ，则l与平面α所成角θ＝－θ1，sin θ＝ ． 3．在一个平面上作一条直线，则这条直线将平面分成两部分，其中每部分都称为 ．从一条直线l出发的 组成的图形叫作二面角，记为α－l－β.这条直线l称为这个二面角的棱，半平面α，β都称为这个二面角的面．也可以在两个面内各取一个不在棱上的点A，B，将二面角记作A－l－B. 4．二面角的大小可以用它的 来度量．过二面角α－l－β的棱l上任意一点O作垂直于棱l的平面，分别与两个面α，β相交得到两条射线OA，OB，则∠AOB称为二面角α－l－β的 ．本书中约定平面角的度数在0°～180°范围内，并且将平面角∠AOB的度数也称为二面角α－l－β的 ．特别当二面角α－l－β是90°时称它为 ，此时称两个面α，β相互 ． 自主探究 1．平面的斜线在平面内的射影唯一吗？ 提示 唯一，若不唯一，则斜线上的点在平面内有两个射影与过一点与平面垂直的直线有且只有一条相矛盾． 2．如果平面α、β的法向量分别为υ1，υ2，则〈υ1，υ2〉与二面角α－l－β有何关系？ 提示 平面的两个法向量υ1，υ2的夹角与二面角α－l－β的平面角大小相等或互补． 预习测评 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于( ) A．30° B．60° C．150° D．以上均错 解析 当直线l的方向向量υ与平面α的法向量n的夹角〈n，υ〉小于90°时，直线l与平面α所成的角与之互余． 答案 B 点评 利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：①斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影． 点评 利用几何法求二面角的过程要体现一作、二证、三计算，即首先作出二面角的平面角，然后证明(或说明)所作角为什么是二面角的平面角，最后再计算出二面角平面角的大小． 点评 (1)求二面角的大小，方法较多，关键是如何转化为向量法求解．利用在两个半平面内垂直于交线的两个向量时要注意向量的起点应在棱上，但两向量的起始点可以不同． (2)利用坐标运算，关键是建立合理的空间直角坐标系．利用法向量求解，则需准确地找到或求解出法向量，并注意两个法向量的夹角与二面角的区别． [正解] 在一个二面角内取一点P，由P分别向两个半平面作垂线a，b再过点P任作一直线c，以c为棱作二面角，a与c，b与c分别确定二面角的两个半平面，由于所作的这样的二面角有无数多个，并且它们的度数不完全相等，因而它们与已知二面角的大小没有确定的关系．故正确答案是D. 2．用定义求二面角的大小一般步骤是：找出或作出平面角，证明它符合定义，计算．找或作平面角的常用方法有： (1)根据定义找出二面角的平面角； (2)根据三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角； (3)作二面角棱的垂面，则垂面和二面角的两个面的交线所成的角是该二面角的平面角． ... ...
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