人教版必修4 高一上册数学课件《2.2.2向量的加法与减法》（25张PPT）

2.2.2向量的坐标表示与运算 复 习 1、平面向量基本定理的内容是什么？ 2、什么是平面向量的基底？ 平面向量的基本定理: 向量的基底: 不共线的平面向量 e1 , e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底. 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2 1．在平面内有点A和点B，怎样表示向量 ？ O x y 思考1: A B 任一向量a ，用这组基底 能不能表示? 2.分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作为平面向量的基底? i j a 思考：如图，在直角坐标系中， 已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 ，填空： （1） （2）若用 来表示 ，则： 1 1 5 3 5 4 7 （3）向量 能否由 表示出来？ 探索1: 以O为起点， P为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？ o P x y a 向量的坐标表示 向量 P（x ，y） 一 一 对 应 在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示? 探索2: A o x y 可通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O处. 解决方案: a a O x y A 平面向量的坐标表示 如图， 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 为基底，则 这里，我们把（x,y）叫做向量 的（直角）坐标，记作 ① 其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在 y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y) 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标. 单位向量 i =（1，0），j =（0，1） 思考: 3．两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？ 1．以原点O为起点作 ，点A的位置由谁确定? 由a 唯一确定 2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？ 向量a 坐标（x ，y） 一 一 对 应 若a以为起点,两者相同 O x y i j a A(x, y) a 变形:如图分别用基底 ， 表示向量 、 、 、 ， 并求出它们的坐标。 A A1 A2 解：如图可知 同理 思考：已知 你能得出 的坐标吗？ 平面向量的坐标运算： 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个 向量相应坐标的和（差） 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标 探究3 向量的加法： y x o a b x1 x2 x1+x2 y1 y2 y1+y2 a＋b 已知a=(x1,y1), b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2) a－b 向量的减法： 同理可得数乘向量的坐标运算 已知a=(x1,y1), b=(x2,y2), 则a-b=(x1-x2,y1-y2) o y x x1 x2 y1 y2 a b x1－x2 y1－y2 已知a=(x,y)和实数λ，则λa=（λx,λy） 向量的坐标运算法则 练习:已知 求 的坐标。 例2.如图，已知 求 的坐标。 x y O B A 解： 一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 这是一个重要结论！ 例3.如图，已知 的三个顶点A、B、C的 坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4）， 试求顶点D的坐标。 A B C D x y O 解法１：设点D的坐标为（x,y） 解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2） 例3.如图，已知 的三个顶点A、B、C的 坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4）， 试求顶点D的坐标。 A B C D x y O 解法2：由平行四边形法则可得 而 所以顶点D的坐标为（2，2） 变形:如图，已知 平行四边形的三个顶点的坐标 分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4）， 试求第四个顶点的坐标。 x y O (-2,1)· (-1,3)· (3,4)· 课堂小结: 2 加、减法法则. 3 实数与向量积的运算法则： 4 向量坐标. 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 1 向量坐标定义. 则 =(x2 - x1 , y2 – y1 ) a + b=( x2 , y2) + (x1 ,? y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 ,? y1)= (x2- x1 , y2-y1) λa =λ(x,y )=(λx ,λy ) ... ...