随机变量的方差 问题 引航 1.离散型随机变量的方差及标准差的定义是什么？ 2.方差具有哪些性质？两点分布与二项分布的方差分别是什么？ 3.如何计算简单离散型随机变量的方差？ 1.方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义: 设离散型随机变量X的分布列为 ①方差D(X)=_____. ②标准差为_____. (2)方差的性质:D(aX+b)=_____. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn a2D(X) 2.两个常见分布的方差 (1)若X服从两点分布，则D(X)=_____. (2)若X～B(n，p)，则D(X)=_____. p(1-p) np(1-p) 1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定. ( ) (2)若a是常数，则D(a)=0. ( ) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度. ( ) 【解析】(1)错误.离散型随机变量的方差越大，随机变量越不稳定. (2)正确.因为E(a)=a，所以D(a)=0. (3)正确.由离散型随机变量的方差的几何意义可知，其反映了随机变量偏离于期望的平均程度. 答案:(1)× (2)√ (3)√ 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p=0.5，则E(X)和 D(X)分别为 . (2)设随机变量ξ～B ，则D(ξ)= . (3)如果X是离散型随机变量，Y=3X+2，那么D(Y)= D(X). 【解析】(1)因为X服从两点分布， 所以X的概率分布为 所以E(X)=0×0.5+1×0.5=0.5， D(X)=0.52×0.5+(1-0.5)2×0.5=0.25. 答案:0.5和0.25 X 0 1 P 0.5 0.5 (2)因为随机变量ξ～B ， 所以D(ξ)= 答案: (3)由于X是离散型随机变量，Y=3X+2呈线性关系，代入公式，则 E(Y)=3E(X)+2，D(Y)=32D(X)=9D(X). 答案:9 【要点探究】 知识点 方差、标准差的定义及方差的性质 1.对随机变量X的方差、标准差的五点说明 (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的. (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度. (3)D(X)越小，随机变量X的取值就越稳定，波动就越小. (4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应 用更广泛. (5)方差也可用公式D(X)=E(X2)-(E(X))2计算(可由 ·pi展开整理得). 2.随机变量的方差和样本方差之间的关系 区别 随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量 联系 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差 3.方差具有的性质 当a，b均为常数时，随机变量η=aξ+b的方差D(η)=D(aξ+b)=a2D(ξ).特别地: (1)当a=0时，D(b)=0，即常数的方差等于0. (2)当a=1时，D(ξ+b)=D(ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身. (3)当b=0时，D(aξ)=a2D(ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积. (4)当a，b均为非零常数时，随机变量η=aξ+b的方差D(η)=D(aξ+b)=a2D(ξ). 【知识拓展】证明公式D(X)=E(X2)-(E(X))2 证明:D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn =( p1+ p2+…+ pn)-2E(X)(x1p1+x2p2+…+xnpn) +(E(X))2(p1+p2+…+pn) =E(X2)-2(E(X))2+(E(X))2 =E(X2)-((E(X))2. 利用公式D(X)=E(X2)-(E(X))2可以简化求方差的过程. 【微思考】 (1)数学期望与方差表示的含义相同吗？ 提示:不同.数学期望是概率意义下的平均值，而方差体现了随机变量偏离于期望的平均程度. (2)两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系？ 提示:由于两点分布是特殊的二项分布，故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系. 【即时练】 (2014·杭州高二检测)某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差D(ξ)= . 【解析】 ... ...
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