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课件网) 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 课标阐释 思维脉络 1.了解数系的扩充与引进复数的必要性. 2.理解复数的有关概念及其代数形式. 3.掌握复数相等的充要条件及其应用. 实数系的扩充→复数与复数集 → 1.复数的概念及其表示 (1)虚数单位 满足i2=-1的i叫做虚数单位. (2)复数的定义 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,全体复数所构成的集合C叫做复数集. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 名师点拨1.对于复数z=a+bi(a,b∈R),应注意其虚部是b,而不是bi. 2.对于复数z=a+bi,只有当a,b∈R时,才能得出z的实部为a,虚部为b,若没有a,b∈R的条件,则不能说a,b就是z的实部与虚部. 知识梳理 思考辨析 【做一做1】 (1)复数z=4-3i的实部是 ,虚部是 .? (2)若复数z=2b- i(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b= .? 解析 (1)复数z=4-3i的实部是4,虚部是-3. 知识梳理 思考辨析 2.复数相等的充要条件 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),规定a+bi与c+di相等的充要条件是 a=c,且b=d. 名师点拨两个复数的比较问题 (1)若两个复数全是实数,则可以比较大小,反之,若两个复数能够比较大小,说明这两个复数都是实数; (2)当两个复数不全是实数时,就不能比较它们的大小,只能说它们相等还是不相等; (3)根据两个复数相等的充要条件,如果a=c,b=d两式中至少有一个不成立,那么就有a+bi≠c+di. 知识梳理 思考辨析 【做一做2】 若x,y∈R,且2 020+yi=x-2 021i,则实数x= ,y= .? 解析 由复数相等的充要条件可得 所以x=2 020,y=-2 021. 答案 2 020 -2 021 知识梳理 思考辨析 3.复数的分类 (1)复数z=a+bi (2)复数分类的集合表示: 知识梳理 思考辨析 名师点拨1.形如z=bi的数不一定是纯虚数,只有当b∈R且b≠0时,bi才是纯虚数,否则不一定是纯虚数. 2.若z是纯虚数,可设z=bi(b∈R,b≠0);若z是虚数,可设z=a+bi(a,b∈R且b≠0);若z是复数,可设z=a+bi(a,b∈R). 知识梳理 思考辨析 解析:根据纯虚数的定义知, 是纯虚数. 答案:C 知识梳理 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)若a,b是实数,则z=a+bi是虚数. ( ) (2)在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x=0,则复数z为纯虚数. ( ) (3)复数可以分为两大类:实数与虚数. ( ) (4)若复数z等于0,则其实部与虚部都等于0. ( ) (5)两个复数一定不能比较大小. ( ) (6)若一个数是实数,则其虚部不存在.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× 知识梳理 思考辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对复数相关概念的理解 【例1】 下列说法中正确的是( ) A.复数由实数、虚数、纯虚数构成 B.若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有x≠0 C.在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数 D.若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i 思路分析:根据复数及其相关概念进行分析判断,注意列举反例. 解析:选项A错,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数;选项B错,若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有y≠0,但x=0是可以的;选项C正确,若复数z=x+yi(x,y∈R)是纯虚数,必有x=0,y≠0,因此只要x≠0,复数z一定不是纯虚数;选项D错,当a,b∈R时,a+i与b+i都是虚数,不能比较大小. 答案:C 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟判断复数概念方面的命题真假的注意点 (1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念,注意它们之间的区别与联系; (2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同; (3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假. 探究一 探究二 探究三 思 ... ...
