基本不等式及其应用 【教学目标】 （一）知识目标： 1．引入两个基本不等式：，，并给出几何解释。 2．能够利用基本不等式比较大小或求代数式的取值范围。 （二）能力目标： 掌握灵活应用基本不等式解决相关问题的能力。 （三）情感目标： 体会数学公式的内在联系，提高学习数学的兴趣。 【教学重难点】 1．引入两个基本不等式：，，并给出几何解释。 2．能够利用基本不等式比较大小或求代数式的取值范围。 【教学过程】 1．基本不等式1：对于任意实数，有，当且仅当时等号成立。 证明： 当时，；当时，； 所以，当且仅当时，的等号成立。 （理解 “当且仅当”的含义） 【例1】已知，求证：，当且仅当时等号成立。 证法一：（作差比较） ， 当且仅当时等号成立。 证法二：（利用基本不等式1） ，当且仅当时等号成立。 思考题：用不等符号连接三者的大小： 2．基本不等式2：对于任意正数，有，当且仅当时等号成立。 思考： 1）如何证明这个不等式； 2）不等式的使用前提，一定要是正数； 3）勿忘等号成立的条件； 我们把和分别叫做正数的算术平均数和几何平均数。基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 基本不等式2的几何意义： 如图，， 以之和为直径的半圆中，半径的长度垂线段的长度。 【例2】已知，求的最小值，并指出满足什么条件时取到最小值。 解：因为，所以与均正，，即最小值为， 当且仅当时取到最小值。 【变式】若改为，则有怎样的最值？ 解：有最大值，当且仅当时取到最大值。 【例3】 （1）代数式与的大小关系是： （2）当时，与的大小关系是： （3）代数式与的大小关系是： 【课堂练习】 1．已知实数，判断下列不等式中哪些是一定正确的？ （1） 正确 （2） 正确 （3） 错误 2．设，求的取值范围。 3．设，比较与的大小、与的大小，你能对基本不等式1进行推广吗？ 解：对于任意实数，有，当且仅当时等号成立；有，当且仅当时等号成立。因此。 【作业布置】 1．如果，且，那么下列不等式中正确的是 （ D ） A． B． C． D． 2．设，则下列各式中正确的是 （ A ） A． B． C． D． 3．函数的最小值是 （ D ） A．4 B．2 C． D．不能确定 4．已知，比较的大小。 解：，当且仅当时等号成立。 5．已知，求证：，并指出等号成立的条件。 6．已知，，求证：，并指出等号成立的条件。 1 / 1
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