函数的基本性质 【教学目标】 1．掌握偶函数与奇函数的概念，学会判断函数的奇偶性； 2．帮助学生掌握由“具体到抽象”、“数形结合”的思维方法； 3．在引导学生发现问题、研究问题和解决问题的过程中，激发学生自主学习的兴趣； 4．理解函数最大、最小值的概念，掌握几种类型的函数最值的求法； 5．学会“转化”的思维方法； 6．让学生懂得数学既是从现实原型中抽象出来的，又随着数学本身的发展而逐步得到完善的，并树立严格定义的思维。 【教学重点】 1．偶函数与奇函数的概念，函数奇偶性的判断。 2．理解函数最大、最小值的概念，求基本函数的最值。 【教学难点】 1．偶函数与奇函数图像性质的证明，简单复合函数奇偶性的判断。 2．通过转化思想，把复杂函数转化成熟悉的基本函数，再求最值。 【教学过程】 （一）知识点一、函数单调性的证明 步骤： 1．取值：设为该区间任意的两个值，且。 2．作差变形：f(X1)-f(X2)，变形。 3．定号：确定上述差值的正负；当正负不确定时，可考虑分类讨论。 4．判断：做出结论。 注意点： （1）f(X1)-f(X2)变形计算时，尽量分解成因式形式，方便作差计算； （2）若要证明f(x)在上不是单调函数时，只要举出反例即可。 延伸：导数与单调性： 例题一、证明函数在上是减函数。 证明：设，则 已知，则 即。即在上是减函数。 扩展：可以用同样的方法证明在上和分别是减函数。但根据的图像可以看到函数在上并不是单调递减的。今后，遇到形如的函数可以类似考虑。 （二）知识点二： 知识点利用函数的单调性求最值 对于单调函数，最大值或最小值出现在定义域（区间）的边缘； 对于非单调函数，需借助图像求解； 分段函数的最值先需分段讨论，再下结论 考查：最值是高考的必考点，熟练掌握二次函数求最值。 例题二、已知函数当时，求函数的最小值 （练习4） （三）知识点三、函数的奇偶性 1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件； 2．是奇函数； 3．是偶函数 ； 4．奇函数在原点有定义，则； 5．在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性。 6．若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性。 注意点：①首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称；若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。 例题三、讨论下列函数的奇偶性： （1）f(x)＝(x＋1)； （2）f(x)＝ （练习4、5） （四）知识点四、函数的周期性 周期性的定义：对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期 设m为非零常数，下列任意一条件恒成立，则f(x)是周期函数，2m是它的一个周期。 考查：选择题与填空题中周期函数的判断与求值。 例题四、若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）＝1， f（2）＝2，则f（3）－f（4）＝( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：由于函数 f(x)的周期为5，所以f（3）－f（4）＝f(－2)－f(－1)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f（2）＋f（1）＝－2＋1＝－1．答案：A （五）知识点五、图像的变换 1．平移： （1），———左“+”右“-”； （2）———上“+”下“-”； 2．伸缩： （1），（———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍； （2），（———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍； 3．对称： （1）； （2）； （3）； （4）； 一般地：如函数y = f (x)对定义域中的任意x的值，都满足f (a+mx)=f(bmx)，则函数y=f(x)的图像关于直线对称。 考查：此点不作特殊考查，但有利于便捷解题，培养开阔数学思维。 例题五、把函数的反函数的图像向右平移2个单位，再作以原点为中心的对称图形，则新图形的函数 ... ...
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