无穷等比数列各项的和 【教学目标】 进一步理解和掌握无穷等比数列的各项和的公式；利用无穷等比数列的各项和公式解决一些实际应用问题；发展逻辑思维能力，强化应用意识。 【教学重难点】 1．无穷等比数列的各项和公式的应用； 2．无穷等比数列的各项和公式中的隐含条件。 【教学过程】 一、复习回顾 思考并回答下列问题： 1．无穷等比数列的各项和公式的回顾： 。 2．无穷等比数列的各项和公式中的隐含条件： 当且仅当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在，在此基础上定义无穷等比数列的各项和，进一步得出计算公式。 二、讲授新课 1．无穷等比数列的各项和概念的进一步强化。 例题1： 已知无穷等比数列{an}的各项之和为4，求首项a1的取值范围。 分析：无穷等比数列的各项和定义的前提条件是。 解：设无穷等比数列{an}的公比为q， 由题设知： ，得； 又，故， 解得：， 所以。 另解：（），利用一次函数的值域来求解。 说明： （1）数学概念的深刻理解； （2）两种解法的比较：不等式的求解与函数思想。 2．无穷等比数列的各项和的实际应用。 例题2： 在Rt△ABC内有一系列的正方形，它们的边长依次为，若，求所有正方形的面积之和。 分析： 解决该实际问题的关键在于转化成一个无穷等比数列的各项和。 解：由题设知：，解得。 由，得； 所以正方形的面积是一个首项为，公比为的无穷等比数列，于是所有正方形的面积之和为： 。 另解：所有正方形的面积之和等于Rt△ABC的面积减去所有内部的三角形的面积之和，而第n个正方形的面积与内部对应的第n个三角形的面积之比为4：1，所以所有正方形的面积之和等于Rt△ABC面积的。 说明： （1）问题的实质：所有正方形的面积是一个无穷等比数列的各项和； （2）另解的关键在于图形中正方形与三角形的对应分析。 三、巩固练习 补充练习： 如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3，P4，… ，Pn，…，记纸板Pn的周长、面积分别为、， 求（1）；（2）。 分析：纸板Pn的周长等于n个半圆的周长（依次构成一个等比数列）与一条线段的长度的和，即是一个无穷等比数列的各项和；纸板Pn的面积等于一个半圆面积减去n-1个半圆的面积（依次构成一个等比数列）的和，即是一个半圆面积减去一个无穷等比数列的各项和所得的差。 解： （1）； （2）。 说明：问题的关键在于转化为无穷等比数列的各项和。 四、课堂小结 1．无穷等比数列的各项和公式：S=（）的理解； 2．如何将某些实际问题转化为一个无穷等比数列的各项和； 3．学会表达：等比数列无穷等比数列的前n项和无穷等比数列的各项和。 P2 P1 P4 P3 1 / 1 ... ...
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