(
课件网) 2.2基本不等式 人教版A（2019）版 必修一 1、作差法比较数（式）大小 2、等式的性质 3、不等式的性质 理论依据 步骤：作差，变形，判断符号， 得出结论 性质１ 如果a＝b， 那么b＝a； 性质２ 如果a＝b，b＝c， 那么a＝c； 性质３ 如果a＝b， 那么a±c＝b±c； 性质４ 如果a＝b， 那么ac＝bc； 性质５ 如果a＝b，c≠０， 那么 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 新知导入 复习巩固 新知导入 A D C B H F G E 当E、F、G、H四点重合时，此时四个三角形变成了四个全等的等腰直角三角形，a=b此时，a2+b2=2ab 一般地，对于任意实数 ，我们有 当且仅当 时等号成立 新知导入 我们给出理论证明: 证明： 当且仅当 时 此时等号成立，即 新知讲解 基本不等式 由前面的证明，我们得到一个重要的不等式： 如果当 用 去替换 中的 ,能得到什么结论呢? 此时，注意a,b的取值范围： 合作探究 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，设 AC = a , BC = b 。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。 因此， ≤ 由相交弦定理：CD2=ab，CD= ，又因为CD≤ （半径） 合作探究 定理：如果 是正数，那么 （当且仅当 时取“=”） 算术平均数 几何平均数 基本不等式 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于 他们的几何平均数 1.重要不等式 2.基本不等式 注意：基本不等式应用的三要素： 一正二定三相等 一正：看是否均为正数 二定：和或积是否为定值， 1.在A+B为定值时，便可以知道A·B的最大值； 2.在A·B为定值时，便可以知道A+B的最小值． 三相等：看等号是否能取到 合作探究 合作探究 积为定值，和有最小值 如何应用呢？ 合作探究 例２. 已知x，y都是正数，求证： （１）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２ ； （２）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 证明：因为x，y都是正数，所以 （１）当积xy等于定值P时， 所以 积为定值，和有最小值 当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，和x＋y有最小值 所以 和为定值，积取最大 当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，积xy有最大值 合作探究 （２）当和x＋y等于定值S时， 合作探究 例３ （１）用篱笆围一个面积为１００ｍ２的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （２）用一段长为３６ｍ的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园 的面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xｍ，yｍ，篱笆的长度为２（x＋y）ｍ． （１）由已知得xy＝100，由 可得 所以 当且仅当x＝y＝10时，上式等号成立． 因此，当这个矩形菜园是边长为10ｍ的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为４０ｍ． 合作探究 （２）由已知得２（x＋y）＝３６，矩形菜园的面积为xyｍ２． 由 得 xy≤81 当且仅当x＝y＝９时，上式等号成立． 因此，当这个矩形菜园是边长为９ｍ的正方形时， 菜园的面积最大，最大面积是81ｍ２ 合作探究 例４ 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800ｍ３，深为３ｍ．如 果池底每平方米的造价为１５０元， 池壁每平方米的造价为１２０元，那么 怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xｍ，yｍ，水池的总造价为z元．根 据题意，有 当x＝y＝４０时，上式等号成立，此时z＝297600 所以，将贮水池的池底设计成边长为40ｍ的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元 合作探究 合作探究 错在哪里呢？ 合作探究 上述解法中，连用了两次基本不等式，其等号成立的条件是不同的，前一个等号成立的条件是a＝b，后一个等号 ... ...
