正、余弦定理及其应用 一、知识导图 二、知识导入 在△ABC中，若AC＝3，BC＝4，C＝60°. 问题1：△ABC的高AD为多少？ 提示：AD＝AC·sin C＝3×sin 60°＝. 问题2：△ABC的面积为多少？ 提示：S△ABC＝BC·AD＝×4×＝3. 问题3：若AC＝b，BC＝a，你发现△ABC的面积S可以直接用a，b，C表示吗？ 提示：能．S＝absin C. 三、知识讲解 知识点1 解三角形的常用公式 1、同角三角函数之间的关系 （1）平方关系: （2）商的关系：， （3）倒数关系： 2、诱导公式 “奇变偶不变、符号看象限”： 奇变偶不变是指：先将公式中的角化为（）的形式，其中的奇、偶是指的奇偶性，变与不变是指三角函数名称的变化，若为奇数，则与互变，与互变；若为偶数，则三角函数名称不变。符号看象限是指：把看成锐角后，所在象限的原三角函数值的符号即为诱导公式中新三角函数的符号。 3、两角和差公式 （1） （2） （3） 4、倍角公式 5、辅助角公式 形如（其中不全为零）的式子称为辅助角公式,，其中的系数符号为正。 6、三角形内角关系 在中，;; ； 7、三角形面积公式 知识点2 正余弦定理级其变形 1、正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一： (解三角形的重要工具) 形式二： (边角转化的重要工具) 形式三： 形式四： 2、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 形式一： (解三角形的重要工具) 形式二： 知识点3 仰角、俯角、方位角概念 1、仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1?2?1所示)． 图1?2?1 2、方向角 从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. (如图1?2?2所示) 图1?2?2 四、例题解析 例1：在△ABC中，，则这个三角形的形状为 ． 【答案】等腰三角形或直角三角形 【解析】由，得， 结合正弦定理得， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， 即A＝B或A＋B＝， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形 例2：在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为 ． 【答案】2 【解析】∵＝，∴sin B＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2. 例3：[如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为_____ m. 【答案】 50 【解析】由正弦定理得＝，又B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)． 例4：在锐角中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若的面积，，求的值． 【答案】（1）A＝60° （2） 【解析】（1）∵ ， ∴．∴ ． ∴，或 ∵为锐角三角形 ，∴ A＝60°． （2）∵ ，由（1）可得. 由余弦定理可得，即。 在中，由正弦定理，化简可得. 例5：已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a－2b)cos C＋ccos A＝0. (1)求角C； (2)若c＝2，求△ABC周长的最大值． 【答案】（1）C＝. （2） 【解析】(1)根据正弦定理，由已知得(sin A－2sin B)cos C＋sin Ccos A＝0， 即sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos C，所以sin(A＋C)＝2sin Bcos C， 因为A＋C＝π－B，所以sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B>0， 所以sin B＝2sin Bcos C，所以cos C＝. 因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)由(1)及余弦定理得cos C＝＝， 又c＝2，所以a2＋b2－12＝ab，所以(a＋b)2－12＝3ab≤3， 即(a＋b)2≤48(当且仅当a＝b＝2时等号成立)． 所以△ABC周长的最大值为6. 五、课堂运用 A级 1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为( ) A. B. C．1 D．2 【答案】 ... ...
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