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课件网) 函数的零点与方程的根 【引例】 求下列方程的根 函数的图象与x轴交点 方程 函数 函 数 的 图象 方程的实数根 x1=－1,x2=3 x1=x2=1 无实数根 (－1,0)、(3,0) (1,0) 无交点 x y 0 －1 3 2 1 1 2 －1 －2 －3 －4 . . . . . . . . . . x y 0 －1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . . y x 0 －1 2 1 1 2 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 x2－2x－3=0 y= x2－2x+3 上述一元二次方程的实数根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。 这个结论对一般的二次方程和对应函数成立吗？ 判别式 =b2-4ac >0 0 <0 二次函数y=ax2+bx+c 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 的实数根 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴的交点 有两个不相等的 实数根x1，x2 有两个相等实数根x1=x2 没有实数根 x y x1 x2 x y x1=x2 x y (x1 ,0)， (x2 ,0) (x1,0) 没有交点 结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标。 方程的实数根就是对应函数图象与x轴交点的横坐标。 结论 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 一、函数零点的定义： 注意：1. 零点指的是一个实数。 零点是一个点吗 2.函数的零点是函数图象与x轴交点 的横坐标。 函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点. 二、等价关系 1、函数 的零点为（ ） A.(1，0),(-2，0),(3，0) B.1，3 C.(0，1),(0，-2),(0，3) D.1，-2，3 2、求下列函数的零点。 （1） （2） （3） 思考： 现在有两组镜头（如图），哪 一组能说明她的行程一定曾渡河 第一组 第二组 第1组情况，若将河流抽象成x轴，前 后的两个位置视为A、B两点。请大家用连 续不断的曲线画出她的可能路径。 若所画曲线能表示为函数，设A点横坐标为a,B点横坐标为b，问：函数在区间[a,b]内一定存在零点吗？ 0 B A 0 B A 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0， 那么，函数y=f(x)在区间 函数零点存在性定理 (a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也 就是方程f(x)=0的根。 [思考] （1）如果函数的图象不是连续不断的，结论还成立？ （2）如果函数在(a,b)有零点，则f(a)f(b)<0 x y O x 图象连续是必要的 定理不可逆 y a b x 函数零点存在性定理 （3）满足定理条件时，函数在区间(a,b)上只有一个零点？ [思考] 零点的个数不唯一 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0， 那么，函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也 就是方程f(x)=0的根。 函数零点存在性定理 [思考] (4) 给定理增加什么条件时，函数在区间（a,b)上只有一个零点 如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)·f(b)<0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有 唯一的一个零点。 x y O x y 由列表可知f(2)<0,f(3)>0， 即f(2)·f(3)<0, 函数 在区间(2,3)内有零点。 由于函数f(x)在定义域(0,+∞) 内是增函数,所以它仅有一个零点。 例1、求函数 的零点个数。 解：用计算器作出x、f(x)的对应值表 . . . . . . . . . x 0 －2 －4 －6 10 5 y 2 4 10 8 6 12 14 8 7 6 4 3 2 1 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6049 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 注:在此说明函数仅有一个零点，必须说明函数在其定义域内是 单调的。 定理法 例1：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。 将函数 f(x)=lnx+2x-6的零点个数转化为函数 g(x)=lnx与 h(x)=-2x+6的图象交点的个数。 想一想 能否有其它方法也可得到本题结论？ h(x)=-2x+6 g(x)=lnx y x 0 1 2 1 3 6 图象法 1、已知 ... ...
