第14讲 抛物线方程及几何性质 一、知识导图 二、知识导入 （一）课堂导入 1.生活中的抛物线： （1）投篮时篮球的运行轨迹是抛物线； （2）南京秦淮河三山桥的桥拱的形状是抛物线； （3）卫星天线是根据抛物线的原理制造的. 2.数学中的抛物线： 一元二次函数的图像是一条抛物线. 提出问题：为什么一元二次函数的图像是一条抛物线？类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？ （二）抛物线的定义 1.抛物线的画法 （1）介绍作图规则. （2）动画展示作图过程. 提出问题：笔尖所对应的点满足的几何关系是什么？ （3）分析作图过程 提出问题：在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F中，哪些没有动？哪些动了？ 提出问题：在作图过程中，绳长，，，，中，哪些量没有变？哪些量变了？ （4）结论 动点满足的几何关系是：动点到定点F的距离等于它到直尺的距离. 2.抛物线的定义 问题1：你能给抛物线下个定义吗？ 抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（不过）的距离相等的点的集合叫作抛物线. 问题2：为什么定点不能在定直线上？若点在直线上，则轨迹为过定点垂直于直线的直线. 3.抛物线的相关概念： 定点：抛物线的焦点.定直线：抛物线的准线. 设，焦点到准线的距离. 抛物线的对称轴与抛物线的交点：抛物线的顶点 （三）抛物线的方程 1.方程推导 （1）建系 请同学们将抛物线画在草稿纸上，自己建立平面直角坐标系. （2）推导 问题3：以下三种建系方式，你认为哪种建系方式最好？请说明理由. 提示：设，先将抛物线的焦点坐标和准线方程求出来，再来求抛物线的方程. 三种建系方式下的抛物线方程分别为：，，.不难得出，第二种建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第二种建系方式最好. ：焦点到准线的距离. 3.思考交流 问题4：你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？ 具体要求：以顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础，分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程，不要求写过程.学生先独立思考，再小组合作交流. 标准方程 图形 性质 开口方向 向右 向左 向上 向下 范围 对称轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 离心率 焦半径 抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点，焦点放在坐标轴上的抛物线的方程，一共有四种形式. 4.例题分析 例1.求出下列抛物线的焦点坐标和准线方程. （1）； （2）； 例2.根据下列条件求抛物线的标准方程. （1）焦点：； （2）准线：. （四）课堂小结 问题5：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获. 1.知识内容：（1）抛物线的定义： （2）抛物线的标准方程： ①焦点在轴正半轴：； ②焦点在轴负半轴：； ③焦点在轴正半轴：； ④焦点在轴负半轴：. 2.学习方法与过程：类比椭圆的研究方法与过程. 3.学习中用到的数学思想和方法：（1）直接法；（2）待定系数法；（3）类比的思维方法；（4）数形结合思想. 三、知识讲解 知识点1 抛物线的定义 文字形式：平面内到定点的距离等于它到一条定直线的距离的点的轨迹。其中叫焦点，定直线叫准线. 集合形式：（M为动点，为定点，为点M到定直线的距离）. 知识点2 抛物线的方程级几何性质 标准方程 图形 性质 开口方向 向右 向左 向上 向下 范围 对称轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 离心率 焦半径 四、例题解析 例1：过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( ) A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【解析】 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得， |PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 例2：如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于 ... ...
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