第3讲 等差数列 知识导图 知识导入 1．有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位：cm)依次为16,32,48,64,80,96,112,128，…，320. 2．2012年伦敦奥运会女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重(单位：kg)分别为48,53,58,63. 3．鞋的尺码，按照国家规定，有22,22.5,23，23.5，24,24.5，…. 问题1：上面三组数能构成数列吗． 提示：能． 问题2：若上面三组数构成数列，试观察它们从第2项起，每一项与前一项的差有什么特点． 提示：各等于同一常数． 知识讲解 知识点1 等差数列的概念 1．等差数列的概念 (1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． (2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)． 2．等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A. 3．等差数列的通项公式 以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d. 知识点2 等差数列的性质 1．等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． (5){an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列； d<0 {an}为递减数列； d＝0 {an}为常数列 知识点3 等差数列的前n项和 1．数列的前n项和的概念 一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋ 例题解析 例1：-401是等差数列-5，-9，-13，……的第 项. 【答案】100 【解析】由等差数列-5，-9，-13，……可知代入可知 例2：在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于( ) A．5 B．8 C．10 D．14 【答案】C 【解析】由等差数列和等差中项的性质，a1＋a7＝a3＋a5＝10. 例3：(1)在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求通项公式an； (2)已知等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，求通项公式an. 【答案】见解析 【解析】(1)设数列{an}的公差为d. 由等差数列的通项公式及已知条件可得 解得∴an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21. (2)设等差数列{an}的公差为d，由已知得 解得 当d＝2时，an＝1＋(n－1)×2＝2n－1； 当d＝－2时，an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3. 例4：等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】 法一：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大． 法二：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大． 法三：根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n＝＝7时，Sn取得最大值． 例5：设数列{an}的前n ... ...
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