第4讲 等比数列 知识导图 二、知识导入 思考 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点． ①1， 2， 4， 8， 16，…； ②1， ， ， ， ，…； ③1， 1， 1， 1， …； ④－1， 1， －1， 1，…. 三、知识讲解 知识点1 等比数列的概念 1．等比数列的概念 (1)文字语言： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． (2)符号语言： ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)． 知识点2 等比数列的性质 1．等比中项 (1)前提：三个数a，G，b成等比数列． (2)结论：G叫做a，b的等比中项． (3)满足的关系式：G2＝ab. 2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a. ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 3．两等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}{an·bn}，也为等比数列. 知识点3 等比数列的前n项和 1．等比数列前n项和公式 等比数列的前n项和公式 2．等比数列前n项和的变式 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 四、例题解析 例1：在等比数列{an}中， (1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5； (2)若a4＝2，a7＝8，求an. 【答案】详见解析 【解析】∵a5＝a1q4，而a1＝5， q＝＝－3，∴a5＝405. (2)因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝， 所以an＝a1qn－1＝2. 例2：若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为( ) A．± B． C．1 D．±1 【答案】D 【解析】由题知2a＝1＋3，∴a＝2. 由b2＝4得b＝±2，∴＝±1. 例3：在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝_____． 【答案】6 【解析】由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝＝126，解得n＝6. 例4：已知等比数列{an}满足：a1＝，a1，a2，a3－成等差数列，公比q∈(0，1)， (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【答案】详见解析 【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝， 因为a1，a2，a3－成等差数列，所以2a2＝a1＋a3－，即得4q2－8q＋3＝0， 解得q＝或q＝， 又因为q∈(0，1)，所以q＝，所以an＝＝. (2)根据题意得bn＝nan＝， Sn＝＋＋＋…＋， ① Sn＝＋＋＋…＋， ② 作差得Sn＝＋＋＋…＋－，Sn＝2－(n＋2). 例5：已知数列{an}的前n项和Sn＝3(2n－1)，数列{bn}的通项公式为bn＝5n－2.数列{an}和{bn}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{cn}．若数列{cn}的第n项恰为数列{an}的第kn项，则数列{kn}的前33项的和是_____． 【答案】2079 【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3(2n－1)－3(2n－1－1)＝3×2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝3，∴an＝3×2n－1.令at＝bs，∴3×2t－1＝5s－2，则s＝.t＝1，s＝1，符合题意；t＝2，s＝，不合题意；t＝3，s＝，不合题意；t＝4，s＝，不合题意；t＝5，s＝10，符合题意； ∴{kn}是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴数列{kn}的前33项之和为33×1＋×4＝2 079. 五、课堂练习 A级 1.在等比数列中，、是方程的两根，则等于（ ） A．1 B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】由题意得，，， ∴，．∴， 又∵，∴．故选B． 2.等比 ... ...
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