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课件网) 第一章 导数及其应用 章末综合提升 巩 固 层 知 识 整 合 提 升 层 题 型 探 究 导数的几何意义 函数的单调性与导数 函数的极值、最值与导数 生活中的优化问题 函数方程思想 瞬时变化_「平均变 化率 导数的 瞬时速度一平均速度 导数的 曲线的割 线斜率 基本初等函数求导 导数的运算]导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 及 函数的单调性研究 导数 应用 函数的极值与最大(小)值 最优化问题 定积分「曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 积 微积分基[定积分在几何 本定 物理中的应用 y y=f(x) = 2第1章 导数及其应用 [巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] 导数的几何意义 【例1】 已知函数f (x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f (x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； (3)如果曲线y＝f (x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． [解] (1)∵f ′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f (x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x＋1， ∴直线l的方程为 y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16. 又∵直线l过点(0,0)， ∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16. 整理得，x＝－8， ∴x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． 法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)， 则k＝＝， 又∵k＝f ′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1. 解得，x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y＝－＋3垂直， ∴切线的斜率k＝4. 设切点坐标为(x0，y0)， 则f ′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1. ∴或 即切点为(1，－14)或(－1，－18)． 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f (x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f (x)的切线方程”的异同点． 2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f ′(x0)，y0＝f (x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到． [跟进训练] 1．直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝_____. －15 [∵y＝x3＋ax＋1过点(2,3)， ∴a＝－3，∴y′＝3x2－3， ∴k＝y′|x＝2＝3×4－3＝9， ∴b＝y－kx＝3－9×2＝－15.] 函数的单调性与导数 【例2】 (1)f (x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x)－f (x)≤0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有( ) A．af (b)＜bf (a) B．bf (a)＜af (b) C．af (a)＜bf (b) D．bf (b)＜af (a) (2)设f (x)＝aln x＋，其中a为常数，讨论函数f (x)的单调性． (1)A [令F(x)＝，则F′(x)＝. 又当x＞0时，xf ′(x)－f (x)≤0，∴F′(x)≤0， ∴F(x)在(0，＋∞)上单调递减． 又a＜b， ∴F(a)＞F(b)， ∴＞， ∴bf (a)＞af (b)，故选A.] (2)[解] 函数f (x)的定义域为(0，＋∞)． f ′(x)＝＋＝. 当a≥0时，f ′(x)＞0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①当a＝－时，Δ＝0， f ′(x)＝≤0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减． ②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0， f ′(x)＜0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减． ③当－＜a＜0时，Δ＞0. 设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点， 则x1＝，x2＝， ... ...
