3.5 不等式的恒成立及存在性问题（补充） 一、选择题（共10小题；共50分） 1. 在 上定义运算 ，若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 2. 已知 且 ，若 在 上恒成立，则 A. B. C. D. 3. 若两个正实数 ， 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 4. 若 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 5. 若不等式 在区间 上有解，则 的取值范围是 A. B. C. D. 6. 当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是 A. B. C. D. 7. 若两个正实数 ， 满足 ，且存在这样的 ， 使不等式 有解，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知关于 的不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 9. 已知 ，二次三项式 对于一切实数 恒成立，又 ，使 成立，则 的最小值为 A. B. C. D. 10. 若 在 内恒成立，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题；共25分） 11. 若存在实数 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围是 ． 12. 设函数 ，对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 ． 13. 若“，”是真命题，则实数 的最大值是 ． 14. 若不等式 对任意实数 都成立，则实数 的最大值为 ． 15. 不等式 对于任意的 ，存在 成立，则实数 的取值范围为 ． 三、解答题（共3小题；共39分） 16. 定义在 上的函数 ，，，，． （1）求 ； （2）是否存在常数 ，，有 17. 设函数 ，若对于任意的 ， 恒成立，求 的取值范围． 18. 若 ，，数列 的前 项和 ，数列 的前 项和 ；是否存在实数 使得 对 恒成立，若存在，求实数 的取值范围，若不存在说明理由． 答案 第一部分 1. A 2. C 【解析】因为 ，所以 且 ，设 ， 则 的零点 ，，． 当 时，则 ，，要使 ， 必有 ，且 ，即 ，且 ，所以 ； 当 时，则 ，，要使 ，必有 ． 综上一定有 ． 3. B 【解析】因为不等式 有解，所以 ，因为 ，，且 ，所以 当且仅当 ，即 ， 时取等号，所以 ，故 ，解得 或 ．所以实数 的取值范围是 ． 4. B 5. A 【解析】由 知，方程 恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根． 于是不等式在区间 上有解的充要条件是 ， 即 ， 解得 ， 所以 的取值范围为 ． 6. C 【解析】当 时，不等式变为 ，成立； 当 时，不等式 恒成立， 则 即 ． 综上所述， 的取值范围是 ． 7. C 8. A 【解析】当 时，不等式 化为 ，其对任意的 恒成立； 当 时，不等式 不能恒成立； 当 时，要使不等式 对任意的 恒成立，对于方程 ，需 ，解得 ．综上，实数 的取值范围是 ，故选A． 9. D 10. D 【解析】由 在 内恒成立，得 在 内恒成立，由分析可知 ．令 ，，作出两个函数的大致图象如图所示． 令 ，得 ，所以 ，则 ，所以要使 在 内恒成立，故实数 的取值范围是 ． 第二部分 11. 12. 【解析】函数 ，对任意 ， 恒成立， 即 ，即 在 恒成立， 当 时，， 由于 ，不满足题意； 当 时，， 由于 ，可得 ，解得 或 ，即 时成立． 则 的取值范围是 ． 13. 14. 【解析】根据题意知，， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 15. 【解析】因为 对于任意的 恒成立， 所以 对于任意的 恒成立， 即 恒成立， 由二次不等式的性质可得，， 又因为存在 使得上述不等式恒成立， 所以 ，解得 ． 第三部分 16. （1） ， 故 ． （2） 不存在．，取 ，则 ， 当 时，，故不存在 ，使得对 ，． 17. 由 ，得 ． 又 ，所以 ． 结合函数 的图象（图略），当 时， 取得最大值 ． 所以当 时，函数 的最小值为 ，所以只需 即可． 故 的取值范围是 ． 18. 假设存在实数 ，使得 对一切正整数恒成立， 即 对一切正整数恒成立，只需满足 即可， 令 ，则 ， 当 ，；，， 故 ，，，， 当 时有最小值 ， 所以 ． 第1页（共1 页） ... ...
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