北京市朝阳区2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试卷（Word版含答案）

北京市朝阳区2021~2022学年度第一学期期末质量检测 高二数学试卷 2022.1 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） （1）点到直线的距离是 （A） （B） （C） （D） （2）与的等差中项是 （A） （B） （C） （D） （3）已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程是 （A） （B） （C） （D） （4）已知函数，则 （A） （B） （C） （D） （5）已知圆与圆外切，则 （A） （B） （C） （D） （6）曲线在点处的切线方程为 （A） （B） （C） （D） （7）已知等比数列的公比为，，则“”是“为递减数列”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）点是正方体的底面内（包括边界）的动点．给出下列三个结论： ① 满足的点有且只有个； ② 满足的点有且只有个； ③ 满足平面的点的轨迹是线段． 则上述结论正确的个数是 （A） （B） （C） （D） （9） 已知，是圆上的两点，是直线上一点，若存在点，，，使得，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （10）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．给出下列三个结论： 正方体在每个顶点的曲率均为； 任意四棱锥的总曲率均为； ③ 若某类多面体的顶点数，棱数，面数满足，则该类多面体的总曲率是常数． 其中，所有正确结论的序号是 （A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③ 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （11）设函数，则 ． （12）已知抛物线的焦点到准线的距离为，则抛物线的标准方程为 ．（写出一个即可） （13）日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加．己知将吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为 ． 则净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率的_____倍，这说明，水的纯净度越高，净化费用增加的速度越_____（填“快”或“慢”）． （14）已知双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线，在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于,两点．若，则双曲线的离心率为 ． （15）已知数列的前项和为，，则 ， ． （16）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论： ① 曲线的方程为； ② 曲线上存在点，使得到点的距离为； ③ 曲线上存在点，使得到点的距离大于到直线的距离； ④ 曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （17）（本小题13分） 已知是等差数列，，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若数列是公比为的等比数列，，求数列的前项和． （18）（本小题13分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，是的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）设点是平面上任意一点，直接写出线段长度的最小值．（不需证明） （19）（本小题15分） 如图，直四棱柱中，底面是边长为的正方形，点在棱 ... ...