2021-2022年学年（人教A版必修5)第一章《解三角形》导学讲义系列（4）正余弦定理解决实际问题

必修五 第一章《解三角形》导学讲义系列 §1－4《 正余弦定理求解实际问题》 【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题. 【学习重难点】1.解三角形的实际应用;2.正、余弦定理在平面几何中的应用 【学习过程导学案】 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). 2.方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2). 3.方向角：相对于某一正方向与目标方向线所成的锐角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． 4．坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解. 三、利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题 【罗师导航】(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一 段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为_____ m. 例2、如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝_____m. 例3、如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449)． 【课堂能力达标检测】 【3-1】某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为8海里，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，则C与D的距离为(　　) A．20海里 B．8 海里 C．23 海里 D．24海里 【3-2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m． 【3-3】当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为_____． 【3-4】如图，在某港口A处获悉，其正东方向距离20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°距港口10海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船． 求接到救援命令时救援船距渔船的距离； 试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？ (已知cos49°＝) 1 / 3 必修五 第一章《解三角形》导学讲义系列 §1－4《 正余弦定理求解实际问题》 【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题. 【学习重难点】1.解三角形的实际应用;2.正、余弦定理在平面几何中的应用 【学习过程导学案】 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线 ... ...