§4 导数的四则运算法则 4.1 导数的加法与减法法则 1.若函数y=xn+x2(n是实数)在x=1处的导数为5,则n等于( ). A.1 B.2 C.3 D.4 解析:∵y'=nxn-1+2x,∴n+2=5,∴n=3. 答案:C 2.已知函数f(x)=x-5+ex,则f'(x)等于( ). A.-5x-6+ex B.x-6+ex C.-5x-6+ D.x-5+ex 解析:f'(x)=(x-5)'+(ex)'=-5x-6+ex. 答案:A 3.下列求导运算正确的是( ). A.'=1+ B.(ln x-3)'= C.(sin x+x2)'=-cos x+2x D.(3x)'=x·3x-1 答案:B 4.设函数f(x)=x+ln x-2 020,若f'(x0)=2,则x0等于( ). A.1 B.2 020 C.2 D.2 021 解析:f'(x)=1+,则f'(x0)=1+=2,解得x0=1. 答案:A 5.已知函数f(x)的导数为f'(x),若f(x)=sin x+2x+f',则f'(0)= . 解析:f'(x)=(sin x)'+(2x)'+'=cos x+2xln 2,则f'(0)=cos 0+20ln 2=1+ln 2. 答案:1+ln 2 6.曲线y=x3-在点(-1,0)处的切线方程为 . 解析:y'=3x2+,所以切线的斜率k=3×(-1)2+=4,所以切线的方程为y-0=4(x+1),即4x-y+4=0. 答案:4x-y+4=0 7.已知函数f(x)=,则f'(2)= . 解析:因为f(x)=x2+x+,所以f'(x)=2x+1, 所以f'(2)=2×2+1=5. 答案:5 8.设函数f(x)在区间(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f'(1)= . 解析:令t=ex,则x=ln t,所以函数f(t)=ln t+t, 所以f'(t)=+1.故f'(1)=+1=2. 答案:2 9.已知点P是曲线y=f(x)=x2-ln x上任意一点,求点P到直线y=x-2的最短距离. 解:作与直线y=x-2平行且与曲线y=x2-ln x相切的直线,图略,则切点即为在已知曲线上且到直线y=x-2的距离最短的点. 设切点的坐标为(x0,-ln x0),则f'(x0)=2x0-=1,解得x0=1或x0=-(舍去),所以切点的坐标为(1,1).切点(1,1)到直线y=x-2的距离d=.(
课件网) 4.1 导数的加法与减法法则 第二章 2022 内容索引 01 02 03 自主预习 新知导学 合作探究 释疑解惑 随堂练习 课标定位 素养阐释 1.掌握导数的加法、减法法则. 2.能够灵活运用法则求有关函数的导数. 3.加强数学运算能力的培养. 自主预习 新知导学 导数的加法与减法法则 【问题思考】 1.已知函数f(x)=x,g(x)=ln x. (1)求f'(x),g'(x). (2)函数Q(x)=x+ln x,H(x)=x-ln x的导数是什么 跟问题(1)的结果有什么关系 提示:(1)f'(x)=1,g'(x)= . (2)Q'(x)=1+ ,H'(x)=1- .Q'(x)=f'(x)+g'(x),H'(x)=f'(x)-g'(x). 2.导数的加法与减法法则 两个函数和(或差)的导数等于这两个函数 导数 的和(或差),即[f(x)+g(x)]'= f'(x)+g'(x) ,[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x). 3.想一想:导数的加(减)法法则,能否推广到多个函数 提示:能.[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x)(n∈N+). 4.做一做:(1)(x3+sin x)'= ; 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)[f(x)-1]'=f'(x)-1.( × ) (2)(e+π)'=0.( √ ) (3)(sin x-cos x)'=cos x-sin x.( × ) 合作探究 释疑解惑 探究一 运用运算法则求导 【例1】 求下列函数的导数: (1)y=x2+log3x;(2)y=sin x-ex. 分析 分析函数的结构特征,选择合适的求导法则和公式求解. 解:(1)y'=(x2)'+(log3x)'=2x+ . (2)y'=(sin x)'-(ex)'=cos x-ex. 适当化简函数解析式,再选择合适的法则和公式求导. 【变式训练1】 求下列函数的导数: (1)y=3x-lg x;(2)y=x2(x+1). 解:(1)y'=3xln 3 ; (2)∵y=x3+x2,∴y'=3x2+2x. 探究二 导数运算法则的应用 分析 先求切线的斜率,再利用点斜式写出切线方程. 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范 牢记基本初等函数的导数公式.在求导前可先化简变形. 随堂练习 1.已知f(x)=x2+m,则f'(x)=( ). A.2x B.2x+m C.2x+1 D.x2+m 答案:A 2.函数y=ex-sin x的导数为( ). A.ln x-cos x B.ex-cos x C.ex+cos x ... ...
