北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 2.4.2　导数的乘法与除法法则（课件(共26张PPT)+练习）

4.2　导数的乘法与除法法则 A组 1.函数y=cot x的导数为(　　). A.sec2x B.-sec2x C.csc2x D.-csc2x 解析:y'=(cot x)'='==-csc2x. 答案:D 2.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)=(　　). A.-1 B.-2 C.2 D.0 解析:∵f'(x)=4ax3+2bx, ∴f'(x)为奇函数,且f'(1)=2, ∴f'(-1)=-2. 答案:B 3.曲线y=f(x)=x+xln x在点(1,1)处的切线方程为(　　). A.2x+y-1=0 B.2x-y-1=0 C.2x+y+1=0 D.2x-y+1=0 解析:∵f'(x)=(x+xln x)'=1+x'ln x+x(ln x)'=1+ln x+1=2+ln x, ∴f'(1)=2+ln 1=2,∴曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 答案:B 4.曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为　　　　　　　　　　. 解析:y'=ex+xex+2,则曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=e0+0+2=3,所以所求切线的方程为y-1=3x,即3x-y+1=0. 答案:3x-y+1=0 5.已知函数f(x)=x3+3xf'(0),则f'(1)=　 . 解析:因为f(x)=x3+3xf'(0), 所以f'(x)=x2+3f'(0), 令x=0,可得f'(0)=0, 所以f'(1)=12+3f'(0)=1. 答案:1 6.若曲线f(x)=ax3+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　　. 解析:f'(x)=3ax2+(x>0),若函数存在垂直于y轴的切线,则3ax2+=0有解,即a=-. ∵x>0,∴-<0,∴a<0. 答案:(-∞,0) 7.已知一个运动物体走过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系为s(t)=+2t2,求物体在t=3 s时刻的瞬时速度. 解:∵s(t)=+2t2=+2t2=+2t2, ∴s'(t)=-+2·+4t, ∴s'(3)=-+12=, 即物体在t=3 s时刻的瞬时速度为 m/s. 8.已知函数f(x)=excos x-x,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程. 解:因为f(x)=excos x-x, 所以f'(x)=ex(cos x-sin x)-1, 所以f'(0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1. B组 1.曲线y=f(x)=在点M处的切线的斜率为(　　). A.- B. C.- D. 解析:y'=,∴f'. 答案:B 2.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(　　). A. B. C. D. 解析:由题意得tan α=k=y'==-1, 当且仅当ex=,即x=0时,等号成立. ∵ex>0,∴y'=<0, 即tan α<0,∴-1≤tan α<0. ∵α为切线的倾斜角,∴≤α<π.故选D. 答案:D 3.已知函数f(x)=x(2 017+ln x),f'(x0)=2 018,则x0等于(　　). A.e2 B.1 C.ln 2 D.e 解析:因为f(x)=2 017x+xln x,所以f'(x)=2 017+ln x+1=2 018+ln x.又因为f'(x0)=2 018, 所以2 018+ln x0=2 018,解得x0=1. 答案:B 4.已知在等比数列{an}中,a1=2,a8=4.若函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f'(0)=(　　). A.26 B.29 C.212 D.215 解析:因为f'(x)=[x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]'=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x[(x-a1)·(x-a2)…(x-a8)]',所以f'(0)=a1a2…a8=(a1a8)4=84=212. 答案:C 5.函数f(x)=的图象在点(1,-2)处的切线方程为　　　　　　　　　　. 解析:∵f'(x)=,∴函数f(x)的图象在点(1,-2)处的切线的斜率k=f'(1)==1,∴所求切线的方程为y+2=x-1,即x-y-3=0. 答案:x-y-3=0 6.已知曲线C:y=f(x)=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,直线l与曲线C相切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点坐标. 解:∵直线l过原点和切点(x0,y0), ∴直线l的斜率k=(x0≠0). ∵点(x0,y0)在曲线C上,∴y0=-3+2x0. ∴k=-3x0+2. ∵f'(x)=3x2-6x+2, ∴k=f'(x0)=3-6x0+2. ∴-3x0+2=3-6x0+2. ∴2-3x0=0. ∵x0≠0,∴x0=,从而y0=-.∴k==-. 故直线l的方程为y=-x,切点坐标为(,-). 7.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x围成的三角形面积是定值,并求出此定值. (1)解:切线方程7x-4y-12=0可化为y=x-3. 当x=2时,y=,所以f(2)=2a-.① 又f'(x)=a+,所以f'(2)=a+.② 联立①②,解得 故f(x)=x-. (2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,则y0=x0-.由y'=1+,得曲线在点P(x0,y0)处的切线的斜率为f'(x0)=1 ... ...