中小学教育资源及组卷应用平台 第八讲 幂函数 【学习目标】 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点). 2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质(重点). 3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)． 知识点1 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象： (2)幂函数的性质： 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减 增 增 x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减 公共点 都经过点(1,1) 题型一 幂函数的概念 【例1】 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝_____. 解析 (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B． (2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. 答案 (1)B (2)5或－1 规律方法 判断函数为幂函数的方法 (1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数． (2)判断一个函数是否为幂函数的依 出卷网据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．21cnjy.com 【训练1】 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于_____． 解析 设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得：α＝log23， ∴f＝log23＝. 答案 题型二 幂函数的图象及应用 【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂 出卷网函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( )21教育网 A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．2，，－2，－ (2)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，分别有：①f(x)>g(x)； ②f(x)＝g(x)；③f(x)0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B．21·cn·jy·com 答案 B (2)解 设f(x)＝xα 出卷网，g(x)＝xβ.∵()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：2·1·c·n·j·y ①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； ②当x＝1时，f(x)＝g(x)； ③当x∈(0,1)时，f(x)1 C．m是偶数，n是奇数，且<1 D．m是奇数，n是偶数，且>1 解析 由图象可知y＝x是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数，又当x∈(1，＋∞)时，y＝x的图象在y＝x的图象下方，故<1. 答案 C 题型三 利用幂函数的性质比较大 ... ...
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