中小学教育资源及组卷应用平台 第九讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 学习目标 1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象. 2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式. 3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相． 知识点一———五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 思考1 用“五点法”作y＝sin x，x∈[0,2π]时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？ 答案 依次为0，，π，，2π. 思考2 用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？ 答案 用“五点法”作函数y＝Asin( 出卷网ωx＋φ)(x∈R)的简图，先令t＝ωx＋φ，再由t取0，，π，，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－，－＋，－＋，－＋，－＋. 梳理 用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤 第一步：列表： ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． 知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称性 对称中心(k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 知识点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义 1．函数y＝－2sin的振幅是－2.( × ) 提示 振幅是2. 2．函数y＝sin的初相是.( × ) 提示 初相是－. 3．函数y＝sin的图象的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z.( √ ) 提示 令x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，即f(x)的图象的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z. 类型一 用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图象 例1 已知函数f(x)＝3sin＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象． 考点 正弦函数的图象 题点 五点法作正弦函数图象 解 (1)列表： x － ＋ 0 π 2π f(x) 3 6 3 0 3 (2)描点画图： 反思与感悟 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点．21教育网 (2)作给定区间上y＝Asi 出卷网n(ωx＋φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象． 跟踪训练1 已知f(x)＝1＋sin，画出f(x)在x∈上的图象． 考点 正弦函数的图象 题点 五点法作正弦函数图象 解 (1)∵x∈，∴2x－∈. 列表如下： x － －π － π 2x－ －π －π － 0 π f(x) 2 1 1－ 1 1＋ 2 (2)描点，连线，如图所示． 类型二 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式． 考点 求三角函数的解析式 题点 根据三角函数的图象求解析式 解 方法一 (逐一定参法) 由图象知振幅A＝3， 又T＝－＝π，∴ω＝＝2. 由点可知，－×2＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z. 又|φ|<，得φ＝，∴y＝3sin. 方法二 (待定系数法) 由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得21·cn·jy·com ∴y＝3sin. 方法三 (图象变换法) 由T＝π，点，A＝3可知， 图象是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的， ∴y＝3sin，即y＝3sin. 反思与感悟 若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.2·1·c·n·j·y (1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω. (3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法 ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此 ... ...
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