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课件网) 普通高中教科书数学必修第一册 1.4.1 充分条件与必要条件 第一章 集合与常用逻辑用语 引入新知 在初中，我们已经对命题有了初步的认识．一般地，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 中学数学中的许多命题可以写成“若 p ，则 q ”，“如果 p ，那么 q ”等形式．其中 p 称为命题的条件，q 称为命题的结论． 本节主要讨论这种形式的命题．下面我们将进一步考查“若 p，则 q ”形式的命题中 p 和 q 的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语： 充分条件、必要条件和充要条件 思考探究 思考: 下列“若 p ，则 q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3) 若x2 -4x+3=0，则x=1； (4) 若平面内两条直线a和b均垂直于直线 l，则a∥b． 条件 p 通过推理可以得出结论 q，所以(1) 、(4)是真命题 条件 p 通过推理不能得出结论 q，所以(2) 、(3)是假命题 知识点一 充分条件与必要条件 上述命题（1）、（4）中的 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．而命题（2）、（3）中的 p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件． 命题真假 推理关系 条件关系 “若p，则q”真 q是p的必要条件 p是q的充分条件 总结新知 “若p，则q”假 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 知识点一 充分条件与必要条件 典例讲解 例1：下列“若 ,则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)若则 (5)若则 (6)若为无理数，则为无理数. 例1：下列“若 ,则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)若则 (5)若则 (6)若为无理数，则为无理数. 解：(1)这是一条平行四边形的判定定理，所以是的充分条件. (2)这是一条相似三角形的判定定理，所以是的充分条件. (3)这是一条菱形的性质定理，所以是的充分条件. 解：(4)由于，但，所以不是的充分条件. (5)由等式的性质知，所以是的充分条件. (6)为无理数，但为有理数，，所以不是的充分条件. 思考探究 思考2：例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？ 我们说是的充分条件，是指条件可以推出结论，但这并不意味着只能由这个条件才能推出结论.一般来说，对给定结论，使得的条件是不唯一的，例如我们知道下列命题均为真命题： ①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； ③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形. 所以，“平行四边形的两组对边分别相等”、“四边形的一组对边平行且相等”、“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件. 事实上，例1中命题(1)及上述①②③均是平行四边形的判定定理.所以，平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条件能充分保证四边形是平行四边形.类似地，平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件，例如“内错角相等”这个条件就充分保证 ... ...
