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课件网) 第二章 基本初等函数 2.3 幂函数 教学目标： 我们先来看几个具体的问题: 1、如果圣诞节卡片每张1元，那么买 张卡片需 元，则 与 的关系是什么？ 2、如果正方形的边长为 ，面积为 ，则 与 的关系是什么？ 3、如果正方形的边长为 ，体积为 ，则 与 的关系是什么？ 4、如果正方形的面积为 ，边长为 ，则 与 的关系是什么？ 5、如果某人 秒骑车行了1km，他骑车的平均速度为 ，则 与 的关系是什么？ 想一想 以上问题中的函数具有什么共同特征 共同特征： 1、指数为常数； 2、均是以自变量为底的幂； [定义:] 一般地，函数 叫做幂函数 ， 其中 为自变量， 为常数。 注意:幂函数的解析式必须是 的形式， 其特征可归纳为“两个1:系数为１，只有1项”． 你能说出幂函数与指数函数的区别吗 指数函数：解析式 ，底数为常数a，（a>0 且a≠1），指数为自变量x； 幂函数：解析式 ，底数为自变量x， 指数为常数α， α∈R； 议 一 议 判断下列函数是否为幂函数. (1) y=x4 (3) y= -x2 (5) y=2x (6) y=x3+2 做一做 下面研究幂函数 的图象 在同一平面直角坐标系内作出这五个幂函数的图象. 试一试 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 9 4 1 0 1 4 9 … … -27 -8 -1 0 1 8 27 … … \ \ \ 0 1 … … -1/3 -1/2 -1 \ 1 1/2 1/3 … 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y= x 1 2 y= x 3 y= x 2 y=x (4,2) (-2,4) (2,4) (-1,1) (-1,-1) (1,1) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y= x -1 y= x 1 2 y= x 3 y= x 2 y=x (4,2) (-2,4) (2,4) (-1,1) (-1,-1) (1,1) 议 一 议 观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 R R R R R ［0,+∞） ［0,+∞） ［0,+∞） {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 奇 奇 偶 非奇 非偶 在 R上增 在 R 上增 在（-∞，0) 上减 在(0，+∞) 上减 在[ 0，+∞) 上增 (1,1) 在（-∞，0 ] 上减 在[ 0，+∞) 上增 不管指数是多少,图象都经过哪个定点 图象都经过点（1，1） 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y= x -1 y= x 1 2 y= x 3 y= x 2 y=x (4,2) (-2,4) (2,4) (-1,1) (-1,-1) (1,1) 在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系 在第一象限内， 当a>0时，图象随x增大而上升。 当a<0时，图象随x增大而下降。 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y= x -1 y= x 1 2 y= x 3 y= x 2 y=x (4,2) (-2,4) (2,4) (-1,1) (-1,-1) (1,1) (1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1); (2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数； (3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数； 幂函数的性质 归纳 例1 如果函数 是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数 的集合。 解:依题意得 检验：当 时，函数为 符合题意； 当 时，函数为 不符合题意，舍去. 所以， 例题解析 例2 证明幂函数 在［0，+∞）上是 增函数. 例题解析 证明:任取 所以幂函数 在［0，+∞）上是增函数. 课堂练习 1、下列结论正确的是( ) A．幂函数图象一定过原点 B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数 C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数 D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数 答案： D 课堂练习 2、利用单调性判断下列各值的大小 课堂练习 3、求下列幂函数的定义域，并判断其奇偶性 幂函数 定义 五个特殊幂函数 图象 基本性质 本节知识结构: 课堂小结： ... ...
