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课件网) 5.1.2 求方程的近似解 第五章 函数的应用 1、函数的零点的定义: 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero point) 一、复习引入 2、零点存在判定法则(理论基础) 一、复习引入 我们已经知道,函数在区间(2,3) 内存在一个零点.进一步的问题是,如何求出这个零点呢? 二、新知探究 一个直观的想法是:如果能将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便,可以通过取区间中点的方法,逐步缩小零点所在的范围. 1 2 3 4 5 二、新知探究 取区间(2,3)的中点2.5,用计算工具算得f( 2.5 )≈-0.084.因为f( 2.5 )f(3)<0,所以零点在区间( 2.5 ,3)内. 再取区间( 2.5 ,3)的中点2.75 ,用计算工具算得f( 2.75 ≈0.512.因为f( 2.5 )f( 2.75 )<0,所以零点在区间( 2.5 , 2.75 )内. 二、新知探究 由于(2,3)(2.5,3) (2.5,2.75),所以零点所在的范围变小了.如果重复上述步骤,那么零点所在的范围会越来越小,这样,我们就可以通过有限次重复相同的步骤,将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间,区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便,我们把区间的一个端点作为零点的近似值. 二、新知探究 二、新知探究 二、新知探究 二、新知探究 小练 小练 小练 小练 例1.借助信息技术,用二分法求方程+3x=7的近似解(精确度为0.1). 解:原方程即+3x=7,令+3x-7,用信息技术画出函数的图象并列出它的对应值表; 二、新知探究 观察图或表,可知f(1)f(2)<0,说明该函数在区间(1,2)内存在零点.取区间(1,2)的中点=1.5,用信息技术算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)f(1.5)<0,所以∈(1,1.5). 再取区间(1,1.5)的中点=1.25,用信息技 术算得f(1.25)≈-0.87.因为f(1.25)f(1.5)<0, 所以∈(1.25,1.5).同理可得,∈(1.375,1.5),∈( 1.375 , 1.4375 ).由于| 1.375 - 1.4375 |=0.0625<0.1, 所以,原方程的近似解可取为1.375 . 二、新知探究 周而复始怎么办 精确度上来判断. 定区间,找中点,中值计算两边看. 同号去,异号算,零点落在异号间. 口 诀 二、新知探究 题型一 二分法概念的理解 三、练习巩固 三、练习巩固 解题方法(二分法的适用条件) 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用. 三、练习巩固 题型二 用二分法求方程的近似解 例2 求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度0.1). 解:由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取区间[-3,-2]作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下: 由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1, 所以函数的一个近似负零点可取-2.25. 三、练习巩固 解题方法(用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则及求解流程图) 1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则: (1)依据图象估计零点所在的初始区间[m,n](这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽可能的小,区间的端点尽量为整数). (2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是(m,c)还是(c,n),逐步缩小区间的“长度”,直到区间的长度符合精确度要求(这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度),才终止计算,得到函数零点的近似值(为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法). 三、练习巩固 2.利用二分法求函数近似零点的流程图: 三、练习巩固 四、课堂小结&作业 用二分法求解方程的近似解: 1、确定区间[a ... ...