3.4函数的应用 教案

《函数的应用》教案 授课题目：3.4函数的应用 选用教材：高等教育-出卷网-《数学》（基础模块上册） 授课时长：2课时 授课类型：新授课 教学目标：能根据具体的情境，选择恰当的函数模型表达问题中的函数关系，通过运算、推理得出的结论解释情境中的问题；能进一步明确数学建模的一般步骤，逐步提高数学抽象和数学建模等核心素养． 教学重点：简单函数模型的应用 教学难点：根据实际问题建立函数模型；二次函数模型的最值问题 教学过程： 1、情境引入 许多实际问题都可以通过建立函数模型来解决，函数模型是应用最广泛的数学模型之一．实际问题一旦被认定为函数关系，就可以通过研究这个函数的性质，使问题得以解决．下面我们将通过几个例子一起来学习一次函数模型、二次函数模型和分段函数模型在实际生产生活中的应用． 教师活动：说明情境 学生活动：思考并分析 设计意图：点名数学建模的意义 探索新知 1.一次函数模型 要给一个水箱匀速注水，注满为止．已知水箱的容积为 160 L，注水前水箱里有水 20 L，当注水 30 min后，水箱有 80 L水，若水量（L）是注水时间（min）的一次函数，试写出这个函数的解析式． 由题意可利用一次函数模型，通过待定系数法确定水量与注水时间之间的函数． 解 根据题意，水量是注水时间的一次函数，设解析式为y=kx+b． 因为x=0时，y=20；x=30时，y=80，代入解析式得{ 又因为y≤160，即2x+20≤160，得x≤70． 所以水量y与进水时间x的函数为y=2x+20，x∈[0,70]． 2.分段函数模型 我国是世界上高速铁路系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运行速度最高、在建规模最大的国家．近年来，我国高铁飞速发展．条条高铁悄然改变着人们的生活，已成为人们出行的快捷方式之一．开通某条高铁线路前，需要进行安全、平稳测试． 如图所示是某高速列车一次测试中从静止到行驶再到停车的示意图，其中（km/h）是车速，（min）是行车时间．试写出车速与行车时间的函数解析式 这是一个涉及分段函数的实际应用问题．不同的时间段，列车行驶的速度不同，需要根据时间进行分段讨论． 解 由题意知：x的取值范围为0≤x≤120． 在0≤x≤5，5＜x＜110，110≤x≤120三个区间有不同的运动状态． 当0≤x≤5时，图像是过原点的一条线段，令y=kx，因点（5，300）在线段上，所以有300=5k， 得k=60，因此y=60x． 当5＜x＜110时，图像是一条平行于x轴的线段，因此y=300． 当110≤x≤120时，图像是过点（110，300）和点（120，0）的一条线段， 设y=kx+b，得 解得a= 30,b=3600．因此y= 30x+3600． 故该列车车速y与行车时间x之间的的函数解析式为 y= 3.二次函数模型 现有 12m长的钢材，要制作一个矩形窗框 （如图所示）． （1）求窗框所围成的面积（m2） 与窗框宽之间的函数解析式； （2）当窗框宽为何值时，窗框所围成的面积最大？最大值为多少？ 这是一个有关二次函数的实际应用问题．通过矩形面积公式可得所求函数关系式．利用二次函数模型可求得窗框所围成的最大面积． 解 （1）设窗框的宽为x(x>0)，由题意知，钢材总长为12m，则窗框的长为12/2 x=6 x,且 0