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课件网) 3.4判断空间直线、平面的位置关系与求距离（第1课时） 第 3 章空间向量及其应用 沪教版2020选修第一册 空间向量常常可为解决立体几何中的有关问题提供简捷方便的方法．在３．２节的例２中就非常方便地利用向量证明了直线与平 面垂直的判定定理． 本节继续介绍空间向量在立体几何中的一些应用．为此，引入 如下一些与直线和平面相关的向量． 直线的方向向量：与直线平行的任何非零向量． 平面的法向量：垂直于平面的任何非零向量． 用向量方法解决有关直线和平面的问题，一般先把相应的问题化为关于上述这些向量的问题来加以解决．建立一个适当的空间直角坐标系常常是有效的辅助手段，特别是在需要数值求解的问题上． 我们先看一个“简单”的例子———三垂线定理． 例1.证明：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂 直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直． 已知：如图３-４-１，PA是平面α 的一条斜线，OA是PA在α内的射影，直线l在平面α 上． 求证：l⊥PA当且仅当l⊥OA． 在立体几何中难以证明的三垂线定理，在这里很容易就证明 了，甚至连坐标系都不需要建立 例2.如图３-４-２，在正方体ABCD-A１B１C１D１ 中， 求证：平面A１BD∥平面CD１B１． 我们先证明点到平面距离的一般公式． 例3.如图３- ４- ４，在长方体ABCDA′B′C′D′中，｜AB｜＝２， ｜AD｜＝｜AA′｜＝１． （１）求顶点B′到平面D′AC的距离； （２）求直线BC′到平面D′AC的距离． 求平面的平行线与平面的距离，只要求平行线上一点到平面 的距离；求两个平行平面的距离，也只要求其中一个平面上 的一个点到另一个平面的距离． 课本练习 随堂检测 1、如果点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1，1，1)的距离是_____ 【解析】由题意得P(0,0,1)或P(0,0，－1)， 2、点A(1，t，0)和点B(1－t，2，1)的距离的最小值为_____ 【解析】（1）如图，过点A作直线AE∥BC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为 的空间直线； （2）如图，取△BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，故向量 可作为 平面BCD的一个法向量； 4、在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，CD的中点，求点B到平面AEC1F的距离； 【解析】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)， 5、四棱锥P ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点； (1)求证：DE∥平面PFB； (2)求点E到平面PFB的距离． 【解析】证明：以D为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2，2,0)，E(0,1,1)， 又因为，DE不在平面PFB上，所以，DE∥平面PFB； （2）因为，DE∥平面PFB， 所以，点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离． ... ...
